2．用基本不等式求函数的最值时.ppt

1．基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考的重点，它应用范围较广，几乎可以涉及高中数学的所有章节，且常考常新，内容无外乎就是大小判断、求最值、求取值范围等． 2．基本不等式在每年的高考题中几乎都有所体现，特别是在求有关最值中，往往和应用题结合，同时常在基本不等式的使用条件上设置一些问题，应谨慎处理． 2．用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后利用基本不等式求出最值．在求解最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值；另一种方法是将要求最值的表达式进行变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值．在用基本不等式时都必须要验证等号成立的条件． 3．利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：一正二定三相等，也就是先满足是正数，然后有定值(和定积最大，积定和最小)，三是要看能不能取等号．“当且仅当x＝y时等号成立”有两层意思：一是当x＝y时，取“＝”；二是取到“＝”时，必有x＝y.所以，在运用此定理解题时一定要重视这一点． 1．证明：不等式a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c均为正数)． 证明：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc ＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) ＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca) ＝ (a＋b＋c)×[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， ∴a3＋b3＋c3≥3abc 很显然，当且仅当a＝b＝c时取“＝”号． 推论：如果a，b，c为正实数，那么 (当且仅当a＝b＝c时，取“＝”号) 1．算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把 称为a，b的算术平均数， 称为a，b 的几何 平均数． 3．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．(2) ≥ (a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． 4．运用基本不等式求函数的最大值、最小值 对于非负数a，b， (1)和a＋b一定时，积ab有最 ，用基本不等式的变形式 ； (2)积ab一定时，和a＋b有最 ，用基本不等式的变形式 . 1．(2010·江苏通州市高三素质检测)已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1， 则ab的最大值为________． 答案： 2．设x，y为正数，则(x＋y)( )的最小值为________． 解析：∵(x＋y)( )＝5＋ (x＞0，y＞0)≥5＋2×2＝9， 当且仅当y＝2x时取 得最小值9. 答案：9 3．已知 ＝1(x＞0，y＞0)，则xy的最小值为________． 解析：1＝ ≥2 ，∴ ，xy≥60. ∴当且仅当 ，即x＝10，y＝6时，xy有最小值60. 答案：60 5．已知扇形面积为定值S，则半径为________时，扇形周长取最小值________． 解析：设半径为R，周长为l.∴S＝ (l－2R)·R，∴l＝2R＋ ＝2(R＋ )≥4 此时R＝ ， 则R＝ . 答案：　 4 1．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”． 2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式． 【例1】(1)已知a0，b0，a＋b＝1，求证： ≥4.(2)证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd. 思路点拨：(1)利用a＋b＝1将要证不等式中的1代换，即可得证． (2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件． 变式1：已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证： (1) ≥16；(2)a2＋b2≥ ；(3)(1