转动惯量的测定平行轴定理验证的实验研究.doc

转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究 摘要：采用三线摆，双线摆，扭摆，测量不同刚性物体的转动惯量，并进一步验证平行轴定理，同时应用扭摆的特性测量切边模量。 关键字：转动惯量；平行轴定理；切变模量 转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴位置有关。根据物体的规则与否，转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。对于规则物体，测量其尺寸和质量，即可通过理论公式计算获得；对于不规则、质量分布不均匀的物体则要通过实验测定。 实验原理 双线摆 本实验中，认为双线摆是纯转动的理想模型。这样，双线摆摆锤的运动可分解为：水平面上的转动以及竖直方向上的振动。 设均匀细杆质量、长为 、绕通过质心竖直轴转动的惯量为；两相同圆柱体的质量之和为2m1,之间距离为2c；双绳之间距离为d，绳长L。 由右图几何关系分析，当很小时，，得 （1） 由上式可得系统的势能为 （2） 杆的转动动能为 （3） 由能量守恒得 （4） 用（4）关于时间求导，并除以，得 （5） 解上面的简谐振动方程，得杆的转动惯量： （6） 测量物体的转动惯量： (7) 待测物体的转动惯量为： (8) 三线摆和扭摆 三线摆 左图是三线摆示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。 拨动转动杆使圆盘进行小角度转动，当转动角很小时，忽律空气阻力，以及悬线扭力的影响，由刚体转动定理，得圆盘的转动惯量为 (9) 式中，m0为下圆盘的质量；r和R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T0为下圆盘的摆动周期，g为重力加速度。 将质量为m的待测刚体放在下圆盘上，使其质心与转抽重合，测量出此时的周期T和上下圆盘的距离H，则总转动惯量为： （9） 待测物的转动惯量为：J= （10） ②扭摆 将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。如下图 忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有 （11） 式中，为刚体对悬线轴的转动惯量，为角加速度。弹性恢复力矩M转角θ的关系为 （12） 式中，K称为扭转模量。它与悬线长度L，悬线直径d及悬线材料的切变模量G有如下关系 （13） 扭摆的运动微分方程为 （14） 可见，圆盘作简谐振动。其周期为 （15） 实验中K未知，将金属环放在圆盘上时复合体的转动惯量为J0+J1，转动周期为： T0= (16) 由式（15）（16）得： （17） （18） 测出T和T0就可以求得圆盘的转动惯量J0与切边模量G。 验证平行轴定理 若质量为的物体绕过其质心轴的转动惯量为，当转轴平行移动距离时（如右图所示），则此物体对新轴的转动惯量为 （19） 这一结论称为转动惯量的平行轴定理。 ①用双线摆验证平行轴定理： 将质量均为m2，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在均匀细杆上。按同样的方法，测出两小圆柱体和细杆的转动周期TX，则可求出每个柱体对中心转轴的转动惯量: （20） 由平行轴定理计算得 （21） 比较与的大小，相差5%以内则平行轴定理得证。 用三线摆验证平行轴定理 将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为R1的圆周上的二个孔上。测出二个圆柱体对中心轴OO＇的转动惯量Jx。如果测得的Jx值与由（19）式右边计算得的结果比较时的相对误差在测量误差允许的范围（≤5%），则平行轴定理得到验证。 实验装置与实验方法 本实验使用的设备有：双线摆、扭摆及三线摆、水准仪、米尺、游标卡尺及待测物体等。 实验方法如下： 周期 圆盘 25 32.8 32.7 32.7 32.6 32.6 32.68 单圆柱 25 30.7 30.8 30.8 30.8 30.6 30.74 测量前，根据水准泡得指示，调平底座平台。双线摆实验开始前先调节摆线长等于两线间的距离，即d=. 打开计数器，调节适当的周期次数。分别使摆进行小角度摆动，