九年级数学竞赛专讲座_二次函数的图像与性质(含答案).doc

九年级数学竞赛--二次函数的图像与性质 一、内容概述 二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结 1．定义： 形如函数称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域. 2．图像 二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点. 3．性质 对的图像来讲， （1）开口方向：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下。 （2）对称轴方程： （3）顶点坐标： （4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若，则抛物线与轴没有交点；若，则抛物线与轴有一个交点； 若，则抛物线与轴有两个交点，分别为，； 另外，抛物线与轴的交点为. （5）抛物线在轴上截出的距离为： （6）与的增减关系： 当，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小； 当，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大. （7）最值： 当时，有最小值，当时，； 当时，有最大值，当时， （8）若抛物线与轴两交点的横坐标为、（），则： 当时，时，；时，； 当时，时，；时，. 4．求解析式 抛物线的解析式常用的有三种形式： （1）一般式： （2）顶点式：，其中是抛物线的顶点坐标。 （3）交点式：，交点式只在抛物线与轴有交点时才用到，式中、是抛物线与轴交点的横坐标。 解题时，视情况和需要，一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。 二、例题解析 例1 设抛物线为，根据下列各条件，求的值。 （1）抛物线的顶点在轴上； （2）抛物线的顶点在轴上； （3）抛物线的顶点； （4）抛物线经过原点； （5）当时，有最小值； （6）的最小值为. 解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）或 例2 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，且直线与轴交点的横坐标为，求证：. 解：由题意得和为方程的两个根，即， ∴， ∴ ∵直线与轴交点的横坐标为：∴ ∴ 例3 二次函数，当时，有最大值25，而方程的两根、，满足，求、、。 解：设二次函数， ∵当时，有最大值25，即：顶点为 ∴ 由已知得：的两根为、，满足 ∴ 根据两根之和与两根之积的关系解得 ∴，即，，. 例4 证明：无论取任何实数值时，抛物线是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。 证明： 当时， 即无论取任何实数时，已知抛物线总通过点M 又 故抛物线的顶点坐标为 即，消去得， 这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上. 例5 已知抛物线过两点，若抛物线在轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式。 解：∵抛物线过两点，∴代入解析式得 所以 ∴此抛物线在轴上截得的线段长可表示为 ∴当，即时，抛物线在轴上截得的线段最短，将代入，得 ∴抛物线的解析式是 例6 如果二次函数的图像的顶点坐标是，且直线依次与轴和抛物线相交于P、Q、R三点，PQ:QR=1:3，求这个二次函数解析式。 解：∵图像的顶点坐标是，所以可设 （1） P点的坐标是，设Q、R点的坐标为和，则， ∴， ∵PQ:QR=1:3且P在QR之处，∴PQ:PR=PQ :（PQ+QR）＝1:4 即:=1:4, ∴=4 （2） 又是抛物线与直线交点的横坐标 ∴ ∴ 由韦达定理，得 由（3）得，同号，再由（2），得 ∴，从（4）得或 ∴或 例7 已知：抛物线交轴于点A、B，交轴于点C，又∠ACB=90°,tan∠CAO－tan∠CBO＝2. （1）求抛物线的解析式。 （2）设平行于轴的直线交抛物线于点M、N，是否存在以MN为直径且与轴相切的圆？如果不存在，说明理由；如果存在，求出圆的半径。 分析：（1）欲求抛物线的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q与方程的两根有联系，另一方面q等于线段OC的长，而,且、又是方程的两根的绝对值，这就使p与q能建立联系，从中求出p、q； （2）本例是存在型问题，如果存在满足题设条件的圆，从图形直观看出；圆心必定在抛物线的对称轴上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值。 解 （1）设A、B两点的横坐标分别为，则是方程的两个根，且，， ∵在Rt△ABC中，OC为斜边AB上的高， ∴ 又∵ ∴ 因为抛物线不经过原点，∴ 由三角函数的定义和，易得： tan∠CAO＝ tan∠CBO＝ 由题设，得，则 ∵ ∴p＝2 故抛物线得解析式为 （2）设点M、N的坐标为，则是方程，即的两个根。 ∴ ∴ ∵圆与轴相切（假设圆存在） ∴，即 解方程得： ∴所求圆的半径为1或2. 说明：本例是代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和Rt△等多方面的知识. 训练题 班级 姓名 学号 1．二次