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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案02new.doc
第二章 数列极限
习题
§1数列极限概念
1、设=,n=1,2,…,a=0。
(1)对下列ε分别求出极限定义中相应的N:
=0.1,=0.01,=0.001;
(2)对,,可找到相应的N,这是否证明了趋于0?应该怎样做才对;
(3)对给定的ε是否只能找到一个N?
2、按ε—N定义证明:
(1)=1;(2);(3);
(4)sin=0;(5)=0(a0)。
3、根据例2,例4和例5的结果求出下列极限,并指出哪些是无穷小数列:
(1);(2);(3);(4);
(5);(6);(7)。
4、证明:若= a,则对任一正整数k,有= a。
5、试用定义证明:
(1)数列{}不以1为极限;(2)数列{}发散。
6、证明定理2.1,并应用它证明数列{}的极限是1。
7、证明:若= a,则||= |a|。当且仅当a为何值时反之也成立?
8、按ε—N定义证明:
(1)=0;
(2)=0;
(3)=1,其中 n为偶数,
=
,n为奇数。
§2收敛数列的性质
1、求下列极限:
(1);(2);(3);
(4);(5);
(6)。
2、设= a,= b,且ab。证明:存在正数N,使得当nN时有。
3、设{}为无穷小数列,{}为有界数列,证明:{}为无穷小数列。
4、求下列极限:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)。
5、设{}与{}中一个是收敛数列,另一个是发散数列。证明{±}是发散数列,又问{}和{}(≠0)是否必为发散数列?
6、证明以下数列发散:
(1){};(2){};(3){}。
7、判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例):
(1)若{}和{}都收敛,则{}收敛;
(2)若{},{}和{}都收敛,且有相同极限,则{}收敛
8、求下列极限:
(1);
(2);
(3);
(4)。
9、设为m个正数,证明:
=max{}。
10、设= a 。证明:
(1)= a ;
(2)若a0,0,则=1。
§3数列极限存在的条件
1、利用= e求下列极限:
(1); (2);
(3); (4);
(5)。
2、试问下面的解题方法是否正确:
求。
解:设=及= a。由于= 2,两边取极限(n→∞)得a = 2 a,所以a = 0。
3、证明下列数列极限存在并求其值:
(1)设=,=,n=1,2,…;
(2)设=(c0),=,n=1,2,…;
(3)=(c0),n=1,2,…。
4、利用{}为递增数列的结论,证明{}为递增数列。
5、应用柯西收敛准则,证明以下数列{}收敛:
(1)=;
(2)=。
6、证明:若单调数列{}含有一个收敛子列,则{}收敛:
7、证明:若0,且=l1,则=0。
8、证明:若{}为递增(递减)有界数列,则
=sup{}(inf{})。
又问逆命题成立否?
9、利用不等式-(n+1)(b-a),ba0
证明:{}为递减数列,并由此推出{}为有界数列。
10、证明:|e-|。
提示:利用上题可知e;又易证+。
11、给定两正数与(),作出其等差中项=与等比中项,一般地令
,,n=1,2,…。
证明:与皆存在且相等。
12、设{}为有界数列,记
=sup{,,…},=inf{,,…}。
证明:(1)对任何正整数n,≥;
(2){}为递减有界数列,{}为递增有界数列,且对任何正整数n,m有≥;
(3)设和分别是{}和{}的极限,则≥;
(4){}收敛的充要条件是=。
总练习题
1、求下列数列的极限:
(1);(2);(3)。
2、证明:
(1)=0(|q|1);(2)=0(a≥1);(3)=0。
3、设= a,证明:
(1)= a(又问由此等式能否反过来推出= a);
(2)若0(n=1,2,…),则= a。
4、应用上题的结论证明下列各题:
(1)=0;(2)=1(a0);
(3)=1; (4)=0;
(5)= e; (6)=1;
(7)若= a(0),则= a;
(8)若(-)= d,则= d。
5、证明:若{}为递增数列,{}为递减数列,且(-)=0,
则与都存在且相等。
6、设数列{}满足:存在正数M,对一切n有
≤M。
证明:数列{}与{}都收敛。
7、设a0,σ0,=,,n=1,2,…。
证明:数列{}收敛,且其极限为。
8、设0,记
=,=,n=2,3,…。
证明:数列{}与{}的极限都存在且等于。
9、按柯西收敛准则叙述数列{}发散的充要条件,并用它证明下列数列{}是发散的:
(1)=;(2)=;(3)=。
10、设= a,= b。记
=
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