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第二节 二次型与对称矩阵的标准形 * 一、二次型的标准形 定义5.4 如果二次型 经过可逆线性变换 ，化为二次型 ，并且 则 5.4 称为二次型 的标准形。 介绍几种化二次型为标准形的方法。 1 用配方法化二次型为标准形 例1 用配方法化二次型 为标准形，并写出对应的可逆线性变换。 解 先将含有 的各项归并在一起，并配成完全平方项： 再对后三项中含有 的项配方，则 令 5.5 则原二次型的标准形为 由 5.4 可得由变量 到变量 的线性变换为 线性变换的矩阵 由于 ，这是一个可逆线性变换。 例2 用配方法化二次型 为标准形，并写出对应的线性变换。 解 二次型中没有完全平方项，可先做线性变换 即 其中线性变换的矩阵 原二次型为 令 即 此线性变换可记为 其中线性变换的矩阵 由此得二次型的标准形 从变量 到变量 的线性变换 其中 即 对应的线性变换为 例3 用配方法将二次型 化为标准形。 分析 如果由已知二次型直接作线性变换 可得二次形的标准形为 但是，上面线性变换的矩阵 而 ，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 令 即 可得二次型的标准形为 对应线性变换的矩阵 一般的，任何一个二次型都可以通过配方法化为标准形。 定理5.2 任何一个二次型通过可逆线性变换一定可以化为 标准形。 2 用正交变换法化二次型为标准形 定理5.3 任一n元二次型都可以通过正交变换变换为标准形。 例4 用正交变换法将二次型 化为标准形，并求所作的正交变换。 解 二次型f 的矩阵 A的特征方程 所以A的特征值为 即存在正交矩阵Q，使得 ，其中 所以二次型的标准形为 对于特征值 ，解齐次线性方程组 由 得 的同解方程组 于是得到对应于 ，的特征向量 类似可得对应于特征值 的线性无关的特征向量 利用施密特正交化方法，将 正交化：令 将 单位化，有 则 Q为正交矩阵，所作正交变换为 例5 用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求所作 的正交变换： 解 二次形的矩阵 A的特征方程 由此可得A的特征值 于是通过正交变换 ,二次型f 可化为标准形 对于 解方程组 得到对应的线性无关的特征向量 利用施密特方法将 正交化： 令 对于 解方程组 得对应的特征向量 将 单位化： 再将 单位化，得 令矩阵 Q为正交矩阵，且所作正交变换为 二、二次型的标准形 定义5.5 如果二次型 其中 通过 可逆线性变换可以化为 5.11 则 5.11 称为该二次型的规范形。 定理5.4 惯性定理 任一二次型 都可以通过可逆线性变换转化为 规范形，且规范形是唯一的。 在二次型 的规范形中，系数为正的平方项个 数p称为 的正惯性指数； 系数为负的平方项个数r-p称为 的负惯性 指数； 它们的差p - r - p 2p-r称为 的符号差。 推论 任一实对称矩阵A合同于对角矩阵 其中1和-1的总数等于A的秩r A ，1的个数由A唯一确定， 它正是A的正惯性指数p.