第二章解析函数ppt.ppt

5 、反三角函数 . 其中 应当理解为对它求导数的那个分支， lnz应当理解为对数函数相应的分支。 在区域G内，由于Lnz的各个分支是解析的，因而 相应分支地在G内解析，并且 四、三角函数 由于Euler公式，对任何实数x，我们有： 因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函 数如下： 余弦函数和正弦函数性质 1、cosz和sinz是单值函数； 2、cosz是偶函数，sinz是奇函数 . . 注1 未必成立。 例如z 2i时，有 注2 例如 与实函数的重要区别！ . 6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有： 证明： . 8、同理可以定义其他三角函数： 7、cosz和sinz在复平面的零点： cosz在复平面的零点是 sinz在复平面的零点是 1）. 反三角函数的定义 两端取对数得 反正切函数：由函数 所定义的函数 w称为z的反正切函数，记作 同样方法可得 六、双曲函数与反双曲函数 双曲正弦函数、双曲余弦函数具有下述性质： （1）反双曲正弦函数 （2）反双曲余弦函数 （3）反双曲正切函数 （4）反双曲余切函数 例题 解 内容小结： 1、指数函数 2、对数函数（多值函数 ） 3、幂函数（一般是多值函数 ） 4、三角函数 5、反三角函数（多值函数 ） 6、双曲函数与反双曲函数（多值函数 ） 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2.指数函数具有周期性 3. 负数无对数的结论不再成立 课后作业： 习题二：13、14、15、16 谢 谢 大 家！ §2.2 解析函数与调和函数的关系 The relation of analytic function and harmonic function 二、解析函数与调和函数的关系 一、 调和函数的概念 定义2.3 一、 调和函数的概念 定理2.3 证明：设f z u x,y +i v x,y 在区域D内解析，则 二、解析函数与调和函数的关系 现在研究反过来的问题： 根据定理2.4，利用调和函数和它的 共轭调和函数作出一个解析函数 偏积分法： 曲线积分法： 然后两端积分得: 例1 验证 是平面上的调和函数, 并求以 为实部的解析函数 使得 解： 故 为平面上为调和函数. 得 要合 ，必 故 例2 解1: 解2: 解3: 内容小结 1、复变函数的导数 2、解析函数的概念与求导法则 点可导与点解析关系；区域可导与区域解析关系 3、函数解析的充分必要条件 4、调和函数的概念 5、共轭调和函数 6、解析函数与调和函数的关系 7、解析函数的构造方法 课后作业 一、 思考题：1、2、 二、习题二：1-12 §2.3 初等函数 Elementary function 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数 五、反三角函数 六、反双曲函数 第二讲 一、指数函数 对于任意实数 ， 定义2.5 称为欧拉公式. 指数函数的性质 二、对数函数 定义2.6 由定义可知： 是 的无穷多值函数 的无穷多值函数 的无穷多值函数 是 的无穷多值函数 是 由定义可知： 的无穷多值函数 特别 注：在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 对数函数的性质： 今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及 负实轴的平面内的某一单值分支. * 例1 解 三、幂函数 定义2.7 当 为正实数，且z 0时，还规定 为 的幂函数. 幂函数的基本性质 . . . 例如： 第二章 解析函数 Analytic function §2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与调和函数的关系 §2.3 初等函数 第一讲 §2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数和调和函数的关系 §2.1 解析函数的概念 The conception of analytic function 一、复变函数导数与微分 二、解析函数的概念与求导法则 三、函数解析的一个充分必要条件 一、复变函数导数与微分 定义2.1 说明： 例1 在整个复平面上处处连续. 注意： 二、解析函数的概念与求导法则 定义2.2 1、解析函数的概念 注1 “解析”有时也称“全纯”、“正则”. 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4 闭区域上的解析函数是指