二阶常系数递推关系求解方法.docVIP

阅读材料：二阶常系数递推关系求解方法 如果某数列满足涉及连续三项的递推关系，，其中是已知的非零常数，并且初始条件即前两项的数值已给出，它的通项将会是何种形式？ 我们把递推关系写成 其中是待定系数，上式通过合并同类项，还原为 与进行系数对比，有 由一元二次方程根与系数关系，我们知道，是关于的一元二次方程（该方程通常写成）的两根。也就是说对于满足递推关系，的数列，其通项公式与一元二次方程的根密切相关。 一般地，我们称方程及其根分别为递推关系的特征方程和特征根。 我们就一元二次方程的根的情况分成两点讨论 一、当时，即特征方程的判别式时， 递推关系可以写成 ① 由于与的地位对等，我们也可以写出 ② 由①知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以有 ③ 同理，由②知 ④ 由③④消去得 所以，数列的通项公式是 ⑤ 事实上，由⑤知，对于的情况，只要求出特征根与，那么递推关系，的解必定可以写成 的形式，系数将由问题的初始条件确定。这样做可以减少计算量。 二、当时，即特征方程的判别式时 递推关系可以写成 由上式知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以有 两边除以得 所以数列是以为公差的等差数列，故 所以数列的通项公式是 ⑥ 由⑥知，对于的情况，只要求出二重特征根，那么递推关系，的解必定可以写成 的形式，系数将由问题的初始条件确定。 例题 1.课本第69页，第6题：已知数列中，，，，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？ 略解：特征方程有相异实数根，再根据初始条件求得 . 2. 斐波那契（Fibonacci）数列：数列满足，求它的通项公式。 略解：特征方程的两根是，再根据初始条件可得 . 例题3. 已知数列中，，，，（），求这个数列的通项公式。 略解：特征方程有二重根，再由初始条件，可得