二重积分与三重积分区别.docVIP

都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。 一重积分 定积分 ：只有一个自变量y f x 当被积函数为1时，就是直线的长度 自由度较大 ∫ a→b dx L 直线长度 被积函数不为1时，就是图形的面积 规则 ∫ a→b f x dx A 平面面积 另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是 盘旋法 Disc Method ：V π∫ a→b f2 x dx 圆壳法 Shell Method ：V 2π∫ a→b xf x dx 计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了 ∫ α→β 1/2 [A θ ]2 dθ A 极坐标下的平面面积 二重积分：有两个自变量z f x，y 当被积函数为1时，就是面积 自由度较大 ∫ a→b ∫ c→d dxdy A 平面面积 当被积函数不为1时，就是图形的体积 规则 、和旋转体体积 ∫ a→b ∫ c→d dxdy V 旋转体体积 计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等 极坐标变换： x rcosθ y rsinθ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫ α→β ∫ h→k f rcosθ，rsinθ r drdθ 三重积分：有三个自变量u f x，y，z 被积函数为1时，就是体积、旋转体体积 自由度最大 ∫ a→b ∫ c→d ∫ e→f dxdydz V 旋转体体积 当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等 计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等 极坐标变化 柱坐标 ： x rcosθ y rsinθ z z h ≤ r ≤ k α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫ α→β ∫ h→k ∫ z?→z? f rcosθ，rsinθ，z r dzdrdθ 极坐标变化 球坐标 ： x rsinφcosθ y rsinφsinθ z rcosφ h ≤ r ≤ k a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π ∫ α→β ∫ a→b ∫ h→k f rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ r2sin2φ drdφdθ 所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而 且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。 重积分能化为几次定积分，每个定积分能控制不同的伸展方向。 又比如说，在a ≤ x ≤ b里由f x 和g x 围成的面积，其中f x g x 用定积分求的面积公式是∫ a→b [f x - g x ] dx 但是升级的二重积分，面积公式就是∫ a→b dx ∫ g x →f x dx、被积函数变为1了 用不同积分层次计算由z x2 + y2、z a2围成的体积？ 一重积分 定积分 ：向zox面投影，得z x2、令z a2 -- x ± a、采用圆壳法 V 2πrh 2π∫ 0→a xz dx 2π∫ 0→a x3 dx 2π ? 1/4 [ x? ] | 0→a πa?/2 二重积分：高为a、将z x2 + y2向xoy面投影得x2 + y2 a2 所以就是求∫∫ D x2 + y2 dxdy、其中D是x2 + y2 a2 V ∫∫ D x2 + y2 dxdy ∫ 0→2π dθ ∫ 0→a r3 dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的 2π ? 1/4 [ r? ] | 0→a πa?/2 三重积分：旋转体体积，被积函数是1，直接求可以了 柱坐标切片法：Dz：x2 + y2 z V ∫∫∫ Ω dxdydz ∫ 0→a2 dz ∫∫Dz dxdy ∫ 0→a2 πz dz π ? [ z2/2 ] | 0→a2 πa?/2 柱坐标投影法：Dxy：x2 + y2 a2 V ∫∫∫ Ω dxdydz ∫ 0→2π dθ ∫ 0→a r dr ∫ r2→a2 dz 2π ? ∫ 0→a r ? a2 - r2 dr 2π ? [ a2r2/2 - 1/4 r? ] | 0→a 2π ? [ a?/2 - 1/4 a? ] πa?/2 三重积分求体积时能用的方法较多，就是所说的高自由度。 既然都说了这麼多，再说一点吧： 如果再学下去的话，你会发现求 平面 面积、体积 比 求 曲面 面积的公式容易 学完求体积的公式，就会有求曲面的公式 就是「曲线积分」和「曲