同济大学 高等数学 课件 4.7.ppt

得 比较系数得 即，原方程的特解为 或者将 直接代入方程 两边消去 再比较系数求出 例8 求解方程 解 特征方程为 故 的通解为 为二重根，因而原方程对应的齐次方程 又 为特征方程的二重根，故令 代入下式，并注意 所以 故方程的通解为 例9 求解方程 解 先求出原方程对应的齐次方程的通解。易得 方程 的特解可设为 代入后解得 方程 的特解可设为 代入后解得 原方程 特解为 原方程 通解为 Ⅱ. 应用欧拉公式，将三角函数表示为复指数函数的的形式， 从而有 其中 是互为共轭的 次多项式，而 故方程写成 应用情形Ⅰ的结果，方程 有特解 的特解为 由于 与 共轭 故方程 从而上述方程的特解为 由于括号内的两项相互共轭，相加后无虚部，故可写成 实函数的形式 综上所述，我们有如下的结论 方程 具有形如 的特解，其中 是 次的多项式， 而 按 是否为特征方程的根而分别取 1 或 0 . 例9 求微分方程 的一个特解。 解 原微分方程对应的特征方程为 相应的 因 代入原方程，得 解为 而此时 不是特征方程的根. 设特解为 比较两端同类项的系数，得 由此得 解得 从而得方程的一个特解 例10 若曲线 是方程 解 齐次方程为 相应的特征方程为 方程的解为 故齐次方程的通解为 的倾角为 曲率为零，求曲线 的方程. 的一条积分曲线，此曲线过 且在点 处的切线 非齐次方程 有特解 代入原方程, 得 即方程的通解为 再由初始条件, 得方程的解为 三、应用举例 * 第七节 二阶常系数线性微分方程 本节要点 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的应用 一、二阶常系数齐次线性微分方程 称 为二阶常系数齐次线性微分方程. 如能求出两个线性无关的解 则可得到方程的通解. 我们看到，当 为常数时，指数函数 及其各阶 对函数 求一阶及二阶导，得到 代入方程，得到 由于 由此得到 导数都只相差一个常数. 由此我们考虑方程是否具有 这种形式的解. 只要 是上述方程的根，则函数 就是二阶常系数 由 不同取值，可得到方程的三种不同形式的 由一元二次方程的求根公式，它的两个根为 齐次线性微分方程的解. 因此我们称上述方程是二阶常 系数齐次线性微分方程的特征方程. 通解. 现依次讨论如下： ㈠ 此时方程有两个不同的实根 通解