多值函数.ppt

. 作业 P93习题(一) 23 20(1)(3),24 22, 26 由于 四 一般幂函数与一般指数函数 定义2.11 因此，对同一个 的不同数值 的个数等于不同数值的因子 个数。 当a为正实数，且z=0时，还规定 1.一般幂函数定义 2.一般幂函数的基本性质： 定义2.12 3.一般指数函数的概念 注1:有无穷多个单值解析分支. 注2: 注3:以上定义两种函数都可看作复合函数. 例6 解 五 具有多个有限支点的情形 可能支点: 注1 注2 结论 例7、作出一个区域，使得函数 在这个区域内可以分解成单值解析分支. 解 可能的支点为0、1、2与无穷， 易知函数 因 结论：0、1、2与无穷都是支点。 具体分析见下图 可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到 因此也可以用[0，1]与 作割线。 例8、验证函数 在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值。 解：我们知道 由于 故：0、1是支点，无穷远点不是支点。 结论：0、1是支点，无穷远点不是支点。 因此，在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定 其四个解析分支为： 则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有， 所以 例9 解 (法1) 而 故 * * Department of Mathematics 第三节 初等多值函数 因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数： w=Argz函数有无穷个不同的值： 其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz ) 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz 是一个单值连续函数 。 对一个固定的整数k， 也是一个单值连续函数 。 因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。 沿负实轴的割线： 上沿 下沿 一 单叶区域 1.定义2.8 注1 单值不一定单叶 注2 区域D到区域E的单叶满变换就是D到E的1-1变换. 或 或 二 根式函数 1.定义2.8 注 注 结论 例1 解 定义 定义 注1 多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值, 且在支割线不连续. 注2 取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一 支为主值支. 例2 解 三 对数函数 1.复对数的定义 定义2.10 我们规定对数函数是指数函数的反函数，即若 注、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数. 2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为： 则这时，有 例3 解 3.对数函数的基本性质 从而 u v w-平面 x z-平面 y 结论 6.对数函数的单值化： 相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化： 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域G。显然，在G内，对数函数可以分解为无穷多个单值解析分支。 沿负实轴的割线的取值情况： 上沿 下沿 一般区域： 例4 解 例5 解 由 故所求的分支为 从而