《概率论与数理统计》6-1参数的点估计.ppt

解 则X1,X2,…,Xn是取自B 1, p 的样本，p是每次抽取 时取到白球的概率，p未知 . 先求 p 的最大似然估计： 一罐中装有白球和黑球，有放回地抽 取一个容量为n的样本，其中有 k 个白球， 求罐中黑球与白球之比 R 的最大似然估计. 备用题例9-1 我们容易求得 由前述最大似然估计的性质不难求得 p的最大似然估计为 的最大似然估计是 设总体 服从区间 上的均匀分布, 试求参数 矩估计量和最大似然估计量 . 解 其观测值为 ， 故 即 的矩估计量为 设 是总体 的样本, 例10-1 总体 的分布密度为 则似然函数为 估计量为 当 时 达到最大, 故 的最大似然 设总体 服从 对于容量为 的样本, 求使得 的点 的最大似然估计. 解 设 为来自总体 的一个样本, 可求得 与 的最大似然估计分别为 例10-2 由 则 查表得 故 的最大似然估计 Karl Pearson（1857～1936 统计学之父 毕业于剑桥大学数学系 K. Pearson最重要的学术成就，是为现代统计学打下基础。许多熟悉的统计名词如标准差，成分分析，卡方检验都是他提出的。 值得一提的是，由于费歇尔（Ronald.Fisher）坚持认为推断统计才是统计学的实质，K.Pearson的工作算不上现代统计学的范畴，引发了20世纪上半叶描述统计与推断统计之争。 于1901年创立统计的元老期刊《Biometrika》， 由 K. Pearson 担任主编直至去世。 高斯 Carl Friedrich Gauss，1777～1855 德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉并列，同享盛名。 高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 /view/2129.htm Gauss 在数理统计中称统计量 点估计常用方法：矩估计和最大似然估计法. 解决上述参数 的点估计问题的思路是: 设法 作出合理的估计 . 的估计值 . 构造一个合适的统计量 , 对 为 的估计量, 的观测值 称为 矩估计法是由英国统计学家 矩估计法的基本思想是用样本的 阶原点矩 去估计总体 的 阶原点矩 ; 皮尔逊 K.Pearson 在1894年提出. 用样本的 阶中心矩 去估计总体 并由此得到未知参数的估计量 . 二、矩估计法 的k阶中心矩 设总体 的分布函数为 , 是 个待估计的未知参数 . 设 存在，对任意 , 现用样本矩作为总体矩的估计，即令 这便得到含 个参数 的 个方程组, 解该方程组得 以 作为参数 的估计量. 这种求出估计量的方法 称为矩估计法 . 矩估计法的具体步骤: 注 这里要求方程组 中方程的个数 待估参数的个数. 设总体 服从泊松分布 , 求参数 的 矩估计量 . 解 设 是总体 的一个样本, 由于 可得 例4 求总体 的均值 和方差 的矩估计. 解 设 是总体 的一个样本， 由于 故令 解得 例5 解 设 是总体 的一个样本， 容易求得 设总体 服从区间上 的均匀分布, 求参数 的矩估计量. 例6 故令 解得 和 的矩估计量为 设总体 的分布 密度为 为总体 的一个样本，求参数 的矩估计量 . 由于 只含有一个未知参数 ,一般 只需求出 便能得到 的矩估计量，但是 解 即 不含有 ,故不能由此得到 的矩估计量. 例7 解得 的矩估计量为 令 故令 即 的矩估计量为 该例表明参数的矩估计量不唯一. 本例 的矩估计量也可以这样求得 最大似然估计作为一种点估计方法最初是由 德国数学家高斯 Gauss 于1821年提出，英国统计 学家费歇尔 R.A.Fisher 在1922年作了进一步发展 使之成为数理统计中最重要应用最广泛的方法之一. Gauss Fisher 三、最大似然估计 设总体 的分布律为 或 分布密度为 ，其中 是未 知参数， 的分布律 或分布密度 为 ,当给定样本值 后， 它只是参数 的函数，记为 ，即 则称 为似然函数，似然函数形式上和样本的 分布律或分布密度一样. 1. 似然函数 先看一个简单例子： 一只野兔从前方窜过 . 是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 如