层次分析法课件和案例分析资料.ppt

例 大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： ①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）； ②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。 1.2.3 方根法计算权重 方根法是一种更简化的近似求解矩阵特征向量和最大特征根的方法，其特征向量Wi按下式计算。 而最大特征根则按下式计算： λ 式中 AW [a][W]T 试用方根法求例所示判断矩阵的特征向量及特征根。 设一判断矩阵如下所示。 1 1/7 1/9 [a] 7 1 1/2 9 2 1 由此便可求出该判断矩阵各目标的相应权重系数分别为： 式中 最大特征根为： § 1.2.4 计算单一准则下元素的相对权重 这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1, …, An 排序权重的计算问题。 对于 n 个元素 A1, …, An，通过两两比较得到判断矩阵 A，解特征根问题 Aw ?maxw 所得到的 w 经归一化后作为元素 A1, …, An 在准则 Ck 下的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征根法。 特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性： 定理 设 n 阶方阵 A 0，?max 为 A 的模最大的特征根，则有 1 ?max 必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量； 2 A 的任何其它特征根 ? 恒有 |?| ?max； 3 ?max 为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。 特征根方法中的最大特征根 ?max 和特征向量w，可用 Matlab 软件直接计算。 例如：计算矩阵 的最大特征值及相应的特征向量。 相应的 Matlab 程序如下： A [1,1,1,4,1,1/2; 1,1,2,4,1,1/2; 1,1/2,1,5,3,1/2; … 1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3; 2,2,2,3,3,1]; [x, y] eig A ; eigenvalue diag y ; lamda eigenvalue 1 y_lamda x :, 1 y 是特征值，且从大到小排列； x 是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量。 输出结果： lamda 6.3516 y_lamda -0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604 § 1.2.4 判断矩阵的一致性检验 在特殊情况下，判断矩阵 A 的元素具有传递性，即满足等式 aij ? ajk aik 例如当 Ai 和 Aj 相比的重要性比例标度为 3，而 Aj 和 Ak 相比的重要性比例标度为 2，一个传递性的判断应有 Ai 和 Ak 相比的重要性比例标度为 6。当上式对矩阵 A 的所有元素均成立时，判断矩阵A 称为一致性矩阵。 一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑。因而必须对判断矩阵的一致性进行检验。 判断矩阵一致性检验的步骤如下： 1 计算一致性指标 C.I.： 其中 n 为判断矩阵的阶数； 2 查找平均随机一致性指标 R.I.： 平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏1986年得出的1—15阶判断矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标如下： 1.59 1.58 1.56 1.54 1.52 1.49 1.46 R.I. 15 14 13 12 11 10 9 阶数 1.41 1.36 1.26 1.12 0.89 0.52 0 0 R.I. 8 7 6 5 4 3 2 1 阶数 3 计算一致性比例 C.R.： 当 C.R. 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。 § 1.2.5 计算各层元素的组合权重 为了得到递阶层次结构中每一层次中所有元素相对于总目标的相对权重，需要把