高数9-5隐函数的求导方法.ppt

*/33 §9.5 隐函数的求导方法 第九章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导方法 第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 方向导数和梯度 第八节 多元函数的极值及其求法 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 回顾: 1) 隐函数概念 显函数 隐函数 2) 隐函数不显化，直接得它所确定的隐函数的导数： 两边对 x 求导 1.定理1 2.定理2 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 连续并有连续导数的函数 y = f (x) , (隐函数求导公式) ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 并有 1.定理1 2.定理2 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 (隐函数求导公式) 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 1.定理1 2.定理2 【说明】 (1)公式法：求偏导数时各自变量地位等同. 即F对 x 求偏导，y 要视为常数.反之亦然. (2)推导法（直接法）：如两边同时对自变量 x求偏导， 注意此时y是函数y = y(x) ，最后解出 即可. 1.定理1 2.定理2 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 (3)若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 : 则还有 例1 1.定理1 2.定理2 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个有连续导数的隐函数 解: 令 连续 , ① 则 ② ③ 并求 (类似例1) 由 定理1 可知, 导数的隐函数 在 x = 0 的某邻域内方程确定有连续 1.定理1 2.定理2 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 隐函数求导方法1：公式法 过点(0,0)， 求 1.定理1 2.定理2 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 隐函数求导方法2： 直接求导法 或代入x=0,y=0，得-1 【解Ⅰ 】公式法 令 则 求 【解Ⅱ】直接求导法 两边再对 x 求导 或 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 1.定理1 2.定理2 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 定一个连续并有连续偏导数函数 z = f (x , y) , 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 1.定理1 2.定理2 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 两边对 x 求偏导 同样可得： 隐函数，则 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 1.定理1 2.定理2 【说明】 (1)公式法：求偏导数时各自变量地位等同. 即F对 x 求偏导，y 、z 要视为常数.反之亦然. (2)推导法（直接法）：如两边同时对自变量 x求偏导，注意此时z是函数，x是自变量，将 y看作常数 ,此时切记 z=z(x,y).最后解出 即可. 例2 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 1.定理1 2.定理2 例2. 设 解法1 直接求导法 再对 x 求导 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 1.定理1 2.定理2 解法2 公式法 设 则 两边对 x 求偏导 练习2 二.方程组的情形（略） 一.一个方程的情形 1.定理1 2.定理2 令 ，则 【解Ⅰ 】公式法 练习2:设 求 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 1.定理1 2.定理2 练习2:设 求 【解Ⅱ 】直接求导法（不设出中间变量） 【思考题】 【思考题解答】 1.直接求导法 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 方法一：直接求导法 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得： 类似例3. 设 求 故有： 2.定理3（公式法） 二.方程组的情形 一.一个方程的情形 1.雅可比行列式 2.定理3（公式法） 定理3. 的某一邻域内具有连续偏导数； 设函数 ③ ① 在点 ② 满足: 则方程组 ,连续且偏导连续的函数 且有偏导数公式 : 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 方法二：公式法