新教材第0章 第34节.ppt

例: 2. 赋范线性空间 赋范线性空间 范数公理 注意： 因此， 在范数意义下（以后均指这种情况）是距离空间 ，称为由范数导出的距离空间。 验证得知 满足距离的三条公理。 常见赋范线性空间 例1: 例2: 例3: 定义: 巴拿赫空间（Banach） 按范数收敛 （1）范数的有界性 （3）线性运算按范数收敛的连续性 （2）范数的连续性 3）范数的等价性 定义: 范数等价 范数等价判别定理 3. 赋范线性空间中的各种收敛 定义: 结论： 4.向量与矩阵范数 定义1: 向量的范数 性质2（等价性） 性质1（连续性） 范数的等价性保证了运用具体范数研究收敛性在理论上的合法性和一般性 定义2: 向量序列的收敛性 定理： 定义3: 矩阵的范数 定义4: 定义5: 矩阵的算子范数 定理： 常用的矩阵范数 定义6: 谱半径 定理5: 定理6： 第*页 第*页 第*页 第*页 §0.3 距离空间 1 定义和举例 2 收敛概念 3 稠密性与完备性 在高等数学中 在泛函分析中将上述内容推广 §1 定义和举例 距离空间 距离公理 例1： 可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不同的距离空间。 思考： 常用不等式 1： H?lder不等式 2：Cauch不等式 常用不等式（2） 3： Minkowski不等式 例2： 例1： 例4： 例5： 收敛概念 定义: 收敛点列 定义: 柯西点列 注：R1中有结论：{x n}是收敛数列 {x n}是Cauchy数列。但在一般的距离空间中，该结论不成立。 例1： 是Q中的Cauchy点列，但不是收敛点列； 例2： 距离空间的完备性 定义: 完备性 结论： § 0.4 赋范线性空间 1 线性空间2 赋范线性空间3 赋范线性空间中的各种收敛4 向量和矩阵的范数 点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算）的空间，在应用时受到许多限制。 目前，我们通过距离的概念引入了点列的极限。 赋范线性空间及内积空间， 是距离结构和代数结构相结合的产物， 比距离空间有明显的优势。 1.线性空间 定义: 线性空间 第*页 第*页 第*页 第*页