数学培优竞赛新方法(九年级)-第14讲 锐角三角函数.doc

第14讲 锐角三角函数 知识纵横 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的的通用形式。 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质： 单调性 互余三角函数间的关系 同角三角函数之间的关系。 平方关系 商数关系 倒数关系 例题求解 【例1】（1）如图，在正方形中，是的中点，是上异于的点，且,则的值为 . （全国初中数学联赛题） 已知在中，是锐角，且，则= . （黄冈市竞赛题） 思路点拨 对于（1），由，分别延长交于，可构造等腰三角形，作于，通过相似三角形建立线段关系；对于（2），过作于，这样由三角函数定义得到线段的比，,,设，解题的关键是求出的值。 【例2】如图，在中，，，则= B. C. D. （全国初中数学联赛试题） 【例3】如图，在直角坐标系中，已知中，,点的坐标分别为 求过点直线的函数表达式. 在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标. 在（2）的条件下，如果分别是和AD的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，求出的值，如不存在，请说 明理由。 （济南市中考题） 思路点拨 对于（3），根据相似三角形的传递性，把与相似的问题转化为与相似的问题，按直角顶点分情况讨论。解本例的关键是：是三个直角三角形的公共角，其正切值贯穿解题的始终。 【例4】已知⊙O过点，点与点关于轴对称，过作⊙O的切线交轴于点（如图1）．（1）求⊙O半径；（2）的值；（3）如图2，设⊙O与轴正半轴交点，点是线段上的动点（与点不重合），连接并延长交⊙O于点，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由． （宁波市中考题） 思路点拨 连,运用切线性质、垂径定理是解题的基础。对于（3），通过角的转化，设法计算的值。 【例5】已知：在中，，是方程的两个根．（1）求实数应满足的条件；（2）若满足（1）的条件，方程的两个根是否等于中两锐角A、B的正弦？ 如图2，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 。 （济南市中考题） 如图3，在中，,，则的面积为 。 （2011年昆明市中考题） 4.在中，均为锐角，,且,则的值 为 （2008年浙江省中考题） 5.如图，在中，,则=( ) B. C. D. （安徽省中考题） 如图，在图，在中，,则的值是（ ） B. C. D. （2011年荆州市中考题） 如图，是平面镜，光线从点出发经上的点反射后照射到点，若入射角为（入射角等于反射角），于，于，且,则的值为（ ） B. C. D. （重庆市中考题） 如图，直角三角纸片的两直角边长分别为，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为,则的值是（ ） A. B. C. D. （泰安市中考题） 如图，等腰梯形中，,翻折梯形，使点重合于点，折痕分别交边于点，若，求（1）的长；（2）的正切值。 （上海市中考题） 如图，在中，以直径的分别交于点，点在延长线上，且。求证： 直线是⊙O的切线。 若，求和的长。 （2011年北京市中考题） 如图，在直角梯形中，. 求梯形的面积； 点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动。若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接，求面积的最大值，并说明此时的位置。 （济南市中考题） 能力拓展 若且 。 （武汉市选拔赛试题） 已知是两个锐角，且满足，则实数所有可能值的和为 。 （2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题） 如图，等腰直角三角形中，,为的中点，将折叠，使点与点重合。若为折痕，则的值为 ，的值为 . （第19届江苏省竞赛题） 如图