数学史期末作业.ppt

* 12小教数学班 左琴 1246111062 刘徽割圆术求面积法 开普勒无限次分割求面积法 有限次分割得到圆的面积 古代求解方法 探索圆面积求法的历程 卡瓦利里 近代求解方法 积分求面积法 化圆为方 蒙特卡罗算法蒙特卡罗算法 圆在生活中的应用 拓扑法 现在小学圆面积的教法 1、历史上求解圆的面积的方法的过程 圆是最重要的曲边图形，古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形，怎样求圆的面积，怎样化曲为直，以直代曲是数学对人类智慧的一次考验。 我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。 古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。 古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。 众多的古代数学家煞费苦心，巧妙构思，为求圆面积作出了十分宝贵的贡献。为后人解决这个问题开辟了道路。 返回 ①古代的求解方法：化圆为方 化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。标尺作图问题曾吸引许多人研究，但无一成功。 1882年法国数学家林 德曼（1852－1939）证明了π是超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的线段长必为代数数?。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此线段不可作。化圆为方这条路行不通，人们不得不开动脑筋，另找出路。 返回 ②有限次分割得到圆的面积 欧几里得的《几何原本》指出圆与圆的面积之比等于以其直径为边的正方形的面积之比。这一命题没有回答如何计算圆的面积，但从命题的结论可以看出，圆的面积与直径有关，且与直径的平方成正比，这对进一步求圆的面积具有指引作用与启发意义，于是人们想到既然正方形的面积容易求，只要作出一个正方形，使它的面积恰好等于圆的面积就行了，这就是“化圆为方”数学家已经证明，与三等分角、倍立方一样，要彻底地化圆为方，就得使用直线和圆以外的其他曲线，仅用直尺和圆规是不行的，在化圆为方的过程中，欧多克斯发现了穷竭法。 这对阿基米德求圆周率有重要影响，圆周率是圆的周长和直径之比，也是圆的面积与半径的平方之比，因为(πr^2)’=2πr，∫ 故从逻辑上，圆的周长和圆的面积等价，求圆周率的方法就是求圆的面积的方法。阿基米德分别用边数不断增多的圆内接正多边形和外切正多边形逼近圆的周长，得到了阿基米德数22/7阿基米德又给出了圆的面积公式：圆的面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形面积，这就是刘徽所说的“半圆乘半径为圆幂”。 r 0 2πxdx =πr^2 返回 我国古代数学家刘徽认为对圆“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”他在割圆的过程中，得到了刘徽不等式： 然后采取“割之又割，以至于不可割”的方法得到圆的面积公式S=Cr。古印度的数学家采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去近似代替圆的面积，众多古代数学家煞费苦心，巧妙构思，为求圆的面积做出了十分宝贵的贡献，为后人解决这个问题开辟了道路。 S2n〈S〈S2n+（S2n－Sn） 图：设圆面积为S0，半径为r，圆内接正n边形边长为ln，周长为Ln ，面积为Sn.将边数加倍后，得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别为l2n，L2n，S2n 刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。 因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积 l2n=AD=√ (AC^2+CD^2)= √（1/2ln)^2+ [r-√r^2-(1/2ln)^2]^2 知道了内接正n边形的周长Ln，又可求得正2n边形的面积S2n=n(1/2AB*OD) =n*lnr/2=1/2Ln*r 得 S2n＜S0 ＜ S2n+（ S2n ﹣Sn） 刘徽从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积. 刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出