数学史 第七章 巨人的杰作——微积分的创立.ppt

巨人的杰作——微积分的创立 7.3 科学巨人——牛顿 7.4 多才多艺的数学大师莱布尼茨 7.3 科学巨人——牛顿 微积分的创立 牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年，当时笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他的影响最大。他对笛卡尔求曲线切线的方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找更好、跟一般的方法。 1666年10月他写的第一篇关于微积分的论文《论数短论》，其中首次提出了流数的概念，所谓流数就是速度，在变速运动中速度是路程对事件的微商，至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加速度是速度的微商。 1669年，牛顿完成关于微积分的第二篇论文《运用无穷多项方程的分析法》在这篇论文中，牛顿假定一条曲线和在该曲线下的面积。并给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且还证 明了面积可以由求变化率的逆过程得到。这一事实实际上已经初步给出了微积分基本定理。不过也可以看出，牛顿回避了运动变化的观点而将无 限小增量“瞬”看作是静止的无限小量，并在某些情况下直接令其为0，这就带有了浓厚的不可分量的色彩。 1671年牛顿关于微积分的第3篇论著《流数术和无穷级数》完成（1736年出版）。在这部著作中，他恢复了在《论数短论》中采用的运动观点，对以物体运动为背景提出的流数概念作了进一步的论述，并清楚地陈述了流数术所提出的中心问题是： 1.已知流量间的关系，求流数关系（即微分法）； 2.已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关 系（即积分法）。 1676年牛顿完成了《曲线求积论》(1704年发表)，这是他关于微积分最成熟的一部论著。这篇论文中，他改变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做法，认为“数的量不是有非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”为此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时的最后比。这相当于求一个函数自变量与因变量变化之比的极限。另外这篇论文中，他以清晰的形式叙述了微积分的基本定理，并系统地引进了他所创造的独特的记法和概念。如： “变量”称为“流”； “变量的变化率”称为“流数”。 若x、y为流，则他们的流数是 、 牛顿微积分学说最早公开表述是在1687年出版的巨著《自然哲学的数学原理》. 这本书还是在他的朋友哈雷(E.Halley，1656—1742)的鼓励和督促下完成并由其出资发表，这也是他一生主要工作的总结。著名的牛顿力学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果都载于此书．它成为科学史上的一个里程碑，对整个欧洲产生了巨大影响． 二项式定理 1665年，22岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。 二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。在今天我们会发觉这个方法只适用于n是正整数，当n是正整数1，2，3，....... ，级数终止在正好是n+1项。如果n不是正整数，级数就不会终止，这个方法就不适用了。但是我们要知道那时，莱布尼茨在1694年才引进函数这个词，在微积分早期阶段，研究超越函数时用它们的级来处理是所用方法中最有成效的。 运动的三个基本定律（牛顿三定律） 牛顿第一定律（惯性定律）： 任何一个物体在不受任何外力或受到的力平衡时（合外力为0时），总保持匀速直线运动或静止状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。 牛顿第二定律： 物体的加速度跟物体所受的合外力F成正比,跟物体的质量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同。 F = am 牛顿第三定律： 两个物体之间的作用力和反作用力,在同一条直线上,大小相等,方向相反。 F = - F 光学 牛顿曾致力于颜色的现象和光的本性的研究。1666年，他用三棱镜研究日光，得出结论：白光是由不同颜色（即不同波长）的光混合而成的，不同波长的光有不同的折射率。在可见光中，红光波长最长，折射率最小；紫光波长最短，折射率最大。牛顿的这一重要发现成为光谱分析的基础，揭示了光色的秘密。牛顿还曾把一个磨得很精、曲率半径较大的凸透镜的凸面，压在一个十分光洁的平面玻璃上，在白光照射下可看到，中心的接触点是一个暗点，周围则是明暗相间的同心圆圈。后人把这一现象称为“牛顿环”。他创立了光的“微粒说”，从一个侧面反映了光的运动性质，但牛顿对光