数值分析实验题( 华科).doc

数值分析实验作业 专业： 姓名： 学号： 实验2.1 多项式插值的振荡现象 [问题提出]： 考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，我们自然关心插值多项的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近逼近的函数，Runge给出的例子是极著名并富有启发性的，设区间[-1,1]上函数 [实验内容]： 考虑区间[-1，1]的一个等距离划分，分点为 则拉格朗日插值多项式为 其中，，i=0,1,2,…,n是n次Lagrange插值函数。 [实验要求]： （1）选择不断增大的分点数目n=2，3，…画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。 （2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数， 重复上述的实验看其结果如何。 解：以下的f(x)、h(x)、g(x)的为插值点用“*”表示，朗格朗日拟合曲线用连续曲线表示。通过三个函数的拉格朗日拟合可以看到，随着插值点的增加，产生Rung现象。 （1） f(x) (2) h(x) (3) g(x) 实验3.1 最小二乘法拟合 编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552 取权数,求拟合曲线中的参数，平方误差，并作离散数据的拟合函数的图形。 解：三次多项式的拟合曲线为： 此题中权函数，即W=(1,1,1,1,1,1,1) 利用法方程 求解这个方程组，就可以得到系数a。 解之得： 故拟合的函数为:, 平方误差为：2.176191667187105e-05 拟合的函数图像如下： 实验5.1 常微分方程性态和R-K法稳定性试验 [试验目的]： 考察下面的微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响（它可使方程为好条件的或坏条件的）和研究计算步长对R-K法计算稳定性的影响。 [实验题目]： 常微分方程初值问题 其中，。其精确解为 [实验要求]： （1）对于参数，分别去四个不同的数值：一个大的正值，一个小的正值，一个绝对值小的负值和一个绝对值大的负值。取步长，分别用经典R-K法计算，将四组计算结果画在同一张图上，进行比较并说明相应初值问题的性态。 （2）对于参数为一个绝对值不大的负值和两个计算步，一个计算步使参数在经典R-K法的稳定域内，另一个步长在经典的R-K法的稳定域外。分别用经典R-K法计算并比较计算结果。取全域等距的10个点上的计算值，列表说明。 解:对于4阶R-K法 绝对稳定区为： 这里，所以绝对稳定区为： （1） 对于，绝对稳定区： a 2 1 -1 -2 h 0.01 0.01 0.01 0.01 (2) 对于，稳定区 a -20 -20 h 0.01 0.15 x y（精确解） 数值解y1 （a=-20,h=0.01） y1-y 数值解y2 （a=-20,h=0.15） y1-y 0.15 0.199787 0.199789 2.35E-06 1.525000 1.325213 0.30 0.302479 0.302479 2.34E-07 2.190625 1.888146 0.45 0.450123 0.450123 1.75E-08 3.049609 2.599486 0.60 0.600006 0.600006 1.16E-09 4.174463 3.574457 0.75 0.750000 0.750000 7.23E-11 5.664886 4.914886 0.90 0.900000 0.900000 4.32E-12 7.657969 6.757969 可见h=0.01时，数值解稳定 h=0.15时，数值解不稳定。程序源代码 function testCharpt2_1 %对数值分析实验题第2章第1题进行分析 promps={输入f为选择f(x)；输入h为选择h(x)；输入g为选择g(x)}; result=inputdlg(promps,请选择实验函数); chooseFunction=char(result); switch chooseFunction case f f=inline(1./(1+25*x.^2))