数值分析5.1 引言及正交多项式.ppt

例2 C[a, b]上的内积，设f(x), g(x)∈C[a, b]，ρ(x)是上给定的权函数，则可内积定义为 容易验证它满足内积定义的4条，由此内积导出的范数 称(8)和(9)为带权ρ(x)的内积和范数，特别常用的是ρ(x)≡1的情形，即 若φ0,φ1,…,φn是C[a, b]中的线性无关函数族，记φ=span{φ0,φ1,…,φn}，它的格拉姆(Gram)矩阵为 根据定理3可知φ0,φ1,…,φn线性无关的充分必要条件是 detG(φ0,φ1,…,φn)≠0. 5.2.1　正交函数族与正交多项式 5.2 正交多项式 则称{φk(x)}是[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族.若Ak≡1，则称之为标准正交函数族. 定义1 如果函数f(x), g(x)在[a,b]上连续,满足 上的连续函数族 则称f(x)与g(x)在[a,b]上关于权 正交,如果[a,b] 满足 例如, 三角函数族 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, …是在区间[-π,π]上的正交函数系，因为对k=1,2,…有 实际上，这就是傅里叶(Fourier)逼近的基函数. 而对k, j=1,2,…，当k≠j 时有 则称多项式序列{φn(x)}为在[a,b]上带权ρ(x)的正交，称φn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式. 定义2 设 φn(x) 是[a,b]上首项系数 an≠0 的 n 次多项式，ρ(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列{φn(x)}满足关系式 *如何构造正交多项式 只要给定区间[a, b]及权函数,均可由一组线性无关的幂函数{1,x,…, xn,…},利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 此即Gram-schmidt正交化方法. 例题：利用 Gram-schmidt 方法构造 [0,1] 上带权 的前3个正交多项式 解：利用正交化公式来求 于是 于是 这样得到的正交多项式序列有以下性质： (1) φn(x)是具有最高次项系数为1的n次多项式. (2) 任何n次多项式Pn(x)∈Hn均可表示为 φ0(x),φ1(x),…,φn(x) 的线性组合. (3) 当k≠j时, (φj(x), φk(x))=0，且φk(x)与任一 次数小于k的多项式正交. (4) 成立递推关系 (5) 设 是在[a, b]上带权ρ(x)的正交多项式序列, 则φn(x)(n≥1)的n个根都是在区间(a, b)内的单重实根. 即在(a, b)内有n个互异实零点. 下面给出几种常见的正交多项式. 5.2.2　勒让德(Legendre)多项式 当区间[-1,1], 权函数ρ(x)≡1时, 由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式,并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),…表示. 这是勒让德于1785年引进的. 1814年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式为 由于(x2-1)n是2n次多项式，求n阶导数后得 显然得到最高项系数为1的勒让德多项式为 于是得Pn(x)的首项系数为 勒让德多项式有下述几个重要性质 (1) 正交性(p204) (2) 奇偶性 (3) 递推关系(p205) (4) Pn(x)在区间[-1,1]内有n个不同的实零点。 且有以下常用公式 5.2.3　切比雪夫( Chebyshev)多项式 区间为[-1,1]时, 取权函数 由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就是切比雪夫多项式，它可表示为 Tn(x)=cos(narccosx), | x |≤1 若令x=cosθ，则Tn(x)=cosnθ，0≤θ≤π. 切比雪夫多项式的性质(p205) (1) 递推关系 于是得Tn(x)的首项系数为 (4) Tn(x)在区间[-1,1]上有n个零点 (2) 切比雪夫多项式{Tk(x)}在区间[-1,1]上带权 正交且 (3) T2k(x)只含x的偶次幂,T2k+1(x)只含x的奇次幂. 注：若将xn用T0(x),T1(x), …,Tn(x)的线性组合表示,则其公式为 这里规定T0(x)=1. n=1,2, …,6时的结果如下 *(5) 对零的一致误差最小 即对任意首项系数为 1 的n次