浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法课件.pptVIP

* * 例题：First Knight 时间复杂度O(n3m3) →O(n3m)。 空间复杂度可优化至O(n2m)。 方程 未知量 x x y y [时空复杂度] Ex, y 总结 期望模型 有限递推 无限递推 有环 无环 方程组 高斯消元 近似解，效率低? 精确解，效率高? 总结 期望模型 具体问题 对应 总结 具体问题 期望模型 对应 解决方法 处理优化 特点 选择 * * * * * * * * * Fij等于从顶点i出发边的概率乘以所连点j-1步的期望之和加上顶点i的权值wi * * * 得到如下等式，建立线性方程组求解。 * * * * * * * * * * * * * * * 浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法 福建省福州第八中学 汤可因 预备知识 [什么是数学期望] 如果X是一个离散的随机变量，输出值为 x1, x2, ...， 和输出值相应的概率为p1, p2, ... （概率和为1）, 那么期望值 预备知识 [全期望公式] E(Y | X = 1)=4 E(Y | X = 2)=3 P(X = 2)=0.4 P(X = 1)=0.6 E(Y)=0.4×3 + 0.6×4 = 3.6 引言 一、利用递推或动态规划解决 二、建立线性方程组解决 模型 例题：First Knight 例题：Mario 引入模型 给出一张有向图G = (V, E)。 顶点i的权值为Wi 。 给出Pu, v表示顶点u经过边(u, v)到顶点v的概率。若某点i发出边概率和为Pi ，那么在顶点i时有1－Pi的概率停止行动。 定义路径权为这条路径上所有点权之和。 问从一个顶点s开始，在每次按照指定的概率走的前提下，到某一顶点停止行动时所走的路径权的期望值。 引入模型 例如这张有向图， s = 1 。 W1 = W2 = W3 = 1，W4 = 0。 可以看到有两条路径。两　　　　　　条路径权分别为3和2，而　　　　　　走这两条路径的概率均为0.5。 所以得到的期望为 2.5 = 0.5×3 + 0.5×2 。 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 对于这种不存在环的有向图。 设Fi表示从顶点i出发的路 径权期望。 可以分成两类情况。 从顶点i出发经过相邻顶点k的路 径权期望为Fk +Wi ，概率Pi, k 。 停止行动路径权Wi 。 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 可以得到如下的递推式 并按照拓扑序来递推 但若将这张有向图稍作修改 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 可以得到如下的递推式 并按照拓扑序来递推 但若将这张有向图稍作修改 图存在环。 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 所以对于一般的有向图，可　　　　　　以设Fi,j为从顶点i出发，经　　　　　　过j步所走路径的路径权　　　　　　期望。 那么有： 　当j 0时 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 所以对于一般的情况，可　　　　　　以设Fi,j为从顶点i出发，经　　　　　　过j步所走路径的路径权　　　　　　期望。 那么有： 　当j 0时 若Fi,j当 j→∞时收敛，设　　　　　　收敛于Fi 那么答案即为Fs。 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 若Fi,j当 j→∞时收敛，设　　　　　　收敛于Fi 那么答案即为Fs。 可以利用迭代求出满足精度要求的解，但是时间复杂度无法接受。 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 方程形式： 对于右图可以得到如下方程组 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 高斯消元 1 -1 0 0 1 0 1 -1 0 1 -0.5 0 1 -0.5 1 0 0 0 1 0 1 2 3 4 1 0.5 0.5 1 引入模型 方程组中只含有与s相关的点。 方程组没有唯一解的情况。 可以调整消元顺序让所要求的Fs放在最后，这样就可以不用回代。 若权在边上而不在点上的话，设边(u, v)的权值为Wu,v，那么同理方程即为 例题：First Knight 题目来源：SWERC 08 一个m×n的棋盘，左上至右下编号为(1, 1)至 (m, n)，并给定每个格子到周围四个格子的概率　　。 一个骑士从(1, 1)开始，按照给定概率走，问到达(m, n)的期望步数。 题目保证从任一格开始到(m, n)的概率均为1 。 [问题描述] 例题：First Knight 列出方程直接求解？ Ei, j表示从(i, j)出发的步数期望。 m, n ≤ 40 Accept? 时间复杂度O(m3n3) Time limit exceeded ? 进行优化！ [分析] 例题：First Knight 方程 未知量 第i行第j