中科大量子力学6试题.ppt

Chapter.6  散 射 一 散射截面 二、散射振幅 三、分波法 思考题：什么是分波法？ 分波法应用举例 四.玻恩近似 玻恩近似法应用举例 Ex.1 EX.2 EX.3 EX.4 EX.5 EX.6 EX.7 分波法是说入射平面波eikz按球面波展开 展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移 。而 的获得需根据 的具体形式解径向方程 三、分波法 (续16) 求出 ，然后取其渐近解，并写成 即可得到第 个分波的相移，由于每个分波都将产生相移 ，所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。 三、分波法 (续17) ex. 球方势阱和球方势垒的低能散射。 粒子的势能: 是势阱或势垒的深度或高度。设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。 Solve: 粒子的径向方程 （1） 三、分波法 (续18) 其中 （2） 对于球方势阱 为粒子的能量， 为粒子在靶粒子中心力场中的势能。 （2） 因粒子波长 所以仅需讨论s波的散射 ，据此及（2）式，可将方程（1）写成 三、分波法 (续19) 其中 （4） （3） 令 则（3），（4）可写成 （5） 三、分波法 (续20) （6） 其解为 （7） （8） 于是 （9） （10） 因 在 处有限，必须有 所以 三、分波法 (续21) 在 处， 及 连续，因此， 及 在 处连续。由（7），（8）式得 总散射截面 （11） （12） 由此求得相移 即 三、分波法 (续22) 在粒子能量很低 的情况下， 。利用 时， ，有 （13） （14） 对于球方势垒 。 这时，用 代替以上讨论中的 ，在粒子能量很低 的情况下，（13）变为 （15） 三、分波法 (续23) （14）写为 （16） 当 时 ，由于 代入（16）式，得 低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等于半径为 的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为 的硬球的最大截面面积 ，它是量子力学计算的结果的 。 三、分波法 (续24) 分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能 可看作是微扰，体系的哈密顿算符为 其中， 是粒子的动能（自由粒子的哈密顿量），其本征函数取箱归一化的动量本征函数 粒子与散射力场的相互作用能： 这里，采用箱归一化意味着体积L3内只有一个粒子。于是，入射粒子流密度 单位时间内，散射到 方向立体角 内的粒子数 （1） 另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用，从动量为 的初态 跃迁到动量 的末态 ，即 四.玻恩近似 (续1) 对于弹性散射，动能守恒 单位时间内，粒子从初态 跃迁到动量大小为 ，方向为 的立体角 内所有末态上的几率，即跃迁几率 跃迁距阵元 （2） （3） 四.玻恩近似 (续2) 为动量大小为 方向角为 的末态数目（态密度） （4） 将（3）、（4）代入（2）式，得出 （5） 此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角d?内的粒子数 （6） 四.玻恩近似 (续3) 比较（1），（6）式，并注意到 ，立即可得 （7） 式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅 有一负号。引入矢量 θ 其中?是散射角， 是散射引起动量的变化，于是 （8） 四.玻恩近似 (续4) 取 的方向为球坐标的极轴方向， 为方位角，则可简化积分