(9.2)第二节二重积分的计算法(同济少学时第三版简约型)概述.ppt

(2) ? - 型区域的代数表示 极坐标系下的平面区域 D 一般可看成是由封闭曲 线 r = r(? )所围成，考虑由极坐标系下的穿线法确定? - 型区域 D 的代数表示形式。 设 M( r ,? )为区域 D 内任意一点，考虑确定 r、? 的变化范围。 先确定? 的变化范围: 过极点作射线沿逆时针方向扫过区域 D，设扫入点 和扫出点分别对应于射线 ? = ? ，? = ? ，则区域 D 内的 任一点 M 的 ? 坐标均满足：? ? ? ? ? ． 区域不含极点的情形 再确定 r 的变化范围 扫入点和扫出点将区域 D 的边界曲线 r = r(? )分成 两段，分别记之为：r = r1(? ), r = r2(? ). 过极点向 M 作射线穿透区域 D，设穿入点在曲线 r = r1(? )上，穿出点在曲线 r = r2(? )上，则区域 D 内 任一点 M( ? ,r )的 r 坐标均满足：r1(? )? r ? r2(? ). 于是求得区域 D 的不等式组表示式为 极点在区域 D 边界上的情形 设 M( r ,? )为区域 D 内任意一点，考虑确定 r、? 的变化范围。 先确定 r 的变化范围: 过极点向点 M 作射线穿投区域 D，易确定 r 的变化 范围，即 D 内任一点 M 的 r 坐标满足：0 ? r ? r( ? )． 再确定 ? 的变化范围: 令：r(? )= 0 ，可求得极点处区域边界曲线的切线 ? = ? ，于是可求得区域 D 内任一点 M 的 ? 值的变化范 围为 ? ? ? ? ? + ? ，或 ? - ? ? ? ? ? ． 区域 D 的不等式组表示式为 极点在区域 D 内部的情形 设 M( r ,? )为区域 D 内任意一点，考虑确定 r、? 的变化范围。 由于极点在区域 D 的内部，故直接由观察法便可 确定 r 、? 的变化范围为： (1) 极坐标下区域的分割方式及面积元形式 在极坐标系下，最简单的曲线是由极点发出的射线 ? = 常数，圆心在极点的圆 r = 常数。因此考虑用这两 种曲线组成的曲线网对平面区域进行分割。 设有极坐标系下的平面区域 D， 用曲线网 ? = ? i , r = rj 分割区域 D， 考虑分割之下各小区域面积 的计算。 任取 M( r , ? )? D，考虑 M 所在的小区域 ?? 的面 积的计算：? ? ? ? ? ? + ?? ，r ? r + ? r . 当分割无限变细时，小 区域 ? ? 缩合至点 M( r , ? )， 此时 r → r , ? r → d r , ? ? → d ? , ? ? → d ? . 求得上述分割下面积元表达式为 d? = rd rd ? . (2) 极坐标系下二重积分的形式 由于二重积分通常在直角坐标系下定义，因此将二 重积分表示为极坐标系下的形式只需先将直角坐标系下 的二重积分转化为极坐标系下的形式，即分别将被积函 数和面积元用极坐标表出。 对给定二重积分 作极坐标变换： x = rcos? ，y = rsin? ，则有 f( x ,y )? f( rcos? ,rsin? )， d? = d xd y ? d? = rd r d ? . (1) 将 ? -型区域上的二重积分化为累次积分 为讨论直观起见，以平面薄片质量的计算为引导， 考虑极坐标系下 ? - 型区域上二重积分的计算问题。 视被积函数 f( rcos? ,rsin? )为平面区域 D 的密度, 考虑将二重积分 在极坐标 系下化为累次积分。 不失一般性，可设积分区域 D 由封闭曲线 r = r(? ) 围成，且不包含极点。 考虑应用元素法计算平面薄片的质量： 确定区域的代数表示式 由极坐标系下的穿线法可确定区域 D 的不等式组为 任取 M( r , ? )? D，计算对应面积元 d? 的质量。 d m元 = f( rcos? ,rsi