化工数值计算-7.ppt

7.3????有约束多变量函数最优化的复合形法 ? 　　上节介绍的是无约束最优化问题,即其变量的选择是没有任何限制的。但是,在化工优化设计中变量参数往往只能在某个可行区域内选择,这就是有约束条件的最优化问题。通常,有约束 最优化问题可表示为: ? 满足约束条件 ? 为便于讨论可写成向量的形式 ? 式(7-22)~式(7-24)中n为独立变量的个数,ai和bi为常数,ci和di可以是常数也可以是变量xi的函数。 求解有约束最优化问题有许多方法。本节介绍直接法中的复合形法。复合形法(complex method)是由BOX于1965年提出的用于不等式约束条件下直接搜索的一种最优化方法,是单纯形法应用于约束问题的推广。 7.3.1　方法概述 所谓复合形是指由n维空间中k(k≥n+1)个点的集合所形成的几何图形,而这k个点叫做复合形的顶点。 复合形法的基本思想是在可行区域中取k(n+1≤k≤2n)个点构成复合形,判断复合形各顶点目标函数值并去掉最坏点(即最大点);将最坏点经过其余k-1个点的形心进行反射,用反射点代替最坏点构成新的复合形,此复合形比原复合形更接近最优点,如此反复可求得目标函数的最优值。 复合形法的最优化基本思路和步骤如下。 ① 初始复合形的生成　 给定复合形的一个顶点,其余k-1个顶点由计算机随机产生。 ? 式中,R为0~1间的随机数。由式(7-25)产生的复合形必定满足显式约束条件即式(7-23),但是不一定满足隐式约束条件即 式(7-24),因此必须检验产生的顶点是否满足隐式约束条件。若第i个顶点不满足隐式约束条件,则对第i个顶点外符合约束条件的前i-1个顶点求形心 ? 然后取第i个顶点与i-1个顶点的形心连线的中点作为新的第i个顶点: ? 新获得的顶点X(i)可能在可行区域外(即不满足约束条件),因此必须对新顶点进行显式与隐式约束条件的检验,直到k个顶点均满足约束条件式(7-23)和式(7-24)。这样形成的复合形各顶点都在可行区域内,就可由这个初始的复合形出发进行最优点的搜索。 ② 计算各顶点的函数值f(X(i))(i=1,2,…,k),并确定出其中函数 值最大点X(h)和最小点X(l)。 ③ 求反射点:先计算复合形中除X(h)以外的n个顶点的形心,其坐标为 ? 然后将X(h)通过形心X(k+1)进行反射,得反射点为 ? 式中,α为反射系数,BOX认为α=1~1.5较为适宜,一般可取1.3。 ④ 对点X(k+2)进行约束条件的检验,若不满足约束条件,则重复使用下式直至满足约束条件: ? 此外若f(X(k+2))f(X(h)),必须将反射点在形心X(k+1)附近进行压缩,即式(7-30)。然后用X(k+2)代替X(h)构成新的复合形,此复合形更接近最优点。 ⑤ 检验所得到的复合形是否满足收敛准则,收敛准则是复合形k个顶点与k个顶点的形心间距离的平方和小于某一给定小量ε,即 ? 式中 ? 如果满足式(7-31),则停止计算,并以现行的最好点或满足式(7-32)的?点作为极小点的近似;否则返回步骤②继续进行下 一次迭代,如此反复直至满足精度要求。 此外,需要注意的是,在使用式(7-27)和式(7-30)时,若新顶点和 形心本身不满足约束条件,则可能会形成死循环,故在程序设计时必须考虑遇到这种情况时应以复合形中相对最优点(即X(l))作为第一顶点,返回程序的开始重新生成初始复合形。 复合形法收敛速度较慢,特别对维数高或约束条件多时,计算量大,但无需求导,无需结合一维搜索方法,因而程序简单、使用方便,工程应用较多。 7.3.2　程序框图 图7-10是复合形法的通用计算程序框图,其中主要的变量如下: 图7-10　复合形法的通用计算程序框图 　????N　　独立自变量的个数,也是显式约束条件的个数 K　　复合形顶点的数目(N+1≤K≤2N) E0　　反射点或新顶点与形心是否重合判断精度 E　　收敛精度 X(0)　　复合形的初始顶点 X(h)　　复合形中函数值最大的顶点 X(l)　　复合形中函数值最小的顶点 X(k+2)　　反射点 7.3.3　计算实例 例7-9 如图7-11所示,某电厂主蒸汽管外侧温度T为723K,环境温度t为303K,现将蒸 汽管路依次包上热导率分别为0.07W/(m·K)与0.05W/(m·K)的两种不同保温材料,这两种材料的造价分别为2000元/m3和2500元/m3; ? 图7-11　管路保温层示意 保温材料的外侧与环境空气间对流传热系数α为11.60W/(m2·K),主蒸汽管路直径为?300mm×10mm;热价为6元/106kJ。求两保温层厚度分别为多少毫米时,同时外保温层的厚度不应大于内保温层的厚度,单位长度管路的