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七、模型求解基础简介 （一）偏微分方程的离散简介 偏微分方程的求解方法 有限差分法 有限元法 有限体积法 边界元法 有限差分法 有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程所最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个过程。 首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。 其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。 有限差分法示例1 地下水潜水含水层一维流动方程： 有限差分法示例2 以地下水承压含水层二维流动方程为例，介绍有限差分法的基本原理。 主要步骤： 第一步 时空离散； 第二步 建立地下水流动问题的差分方程组； 第三步 求解代数差分方程组。 第一步 时空离散 空间剖分：即把所研究的渗流区域按某种几何形状（如矩形、任意多边形等）分割成有限个单元或网格。 研究区的边界可以用最接近它的格线近似表示。 当网格划分得足够小时，曲折的格线也能够很好地刻画出边界的形状。 通常，有限差分法用矩形网格剖分。X和Y方向的空间步长分别为：?x、?y。 时间离散：在时间上则划分成许多时段。这些时段的集合就是原来所要研究的时间段。 时间步长?t, t= k?t； 将模拟期分割为若干个时段，K=1，2，…，L；若时段的编号用k，则k时段的开始时刻为k?t，终了时刻为(k+1)?t； 在(i, j)与(i+1, j)之间的平均导水系数用 k时段、网格(i, j)的水位可表示为 第二步 建立差分方程 对偏微分方程中的 项进行差分处理。 水头函数h(x)沿x方向的变化率： 当 足够小时，可用差商近似代替微商，即： 用差商代替导数（微商）产生的误差可用函数的泰勒级数来说明： 由此，对水位h在hi,j进行泰勒展开，则： 式中： 第三步 建立差分方程组 建立的差分线性方程组（以显式差分为例） （二）线性方程组求解简介 解线性方程组 差分格式不同，形成不同的线性方程组结构，可采用相应的求解方法。 常用方法有： 高斯-塞德尔迭代法（G-S） 逐次超松弛迭代法（SSOR） 强隐式迭代法（SIP） 交替方向隐式差分格式的追赶法（ADI） 预调共轭梯度法（PCG） 高斯-赛德尔迭代法 高斯-塞德尔迭代法（G-S）是在简单迭代法的基础上，利用相邻节点最新算出的水头值作为新的改进值，而新的改进值通常比原来的改进值更接近方程的解，这样就能大大提高方程组迭代效率，减少迭代次数，节省计算时间。 逐次超松弛迭代法 逐次超松弛迭代法（SSOR）可以看作是带参数ω（松弛因子）的高斯-塞德尔迭代法，是G-S方法的一种修正或加速，是求解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一。 这种方法将前一步的结果xi (k)与高斯-塞德尔方法的迭代值适当进行线性组合，以构成一个收敛速度较快的近似解序列。 强隐式迭代法 强隐式迭代法（SIP）是一种通过迭代来求解大型联立方程组的方法。其优点是非常稳定且常常可以收敛于某个解，但通常很慢。它不如PCG法快速，但占用的计算机内存要少。在地下水模拟软件ModFlow中就采用了SIP法求解地下水水头的大型线性方程组。 交替方向隐式差分格式的追赶法 交替方向隐式方法（ADI）是50年代中期发展的求解二维扩散问题的有限差分方法。它能够把二维问题化为一系列的一维问题处理，具有精度高、稳定性好、可用成熟的追赶法求解，便于在计算机上实现，应用较为广泛。 预调共轭梯度法 预调共轭梯度法（PCG）是上世纪70年代发展起来的一种针对大型稀疏线性方程组的迭代求解方法。由于该方法主要涉及向量之间的运算，收敛较快，存储需求较小，求解效率较高。 举例说明 举例说明 举例说明 （三）水资源合理配置模型求解简介 求解方法 EXCEL逐步求解 逐步模拟求解 整体模拟求解 Excel法是指借助于Microsoft Excel等计算工具，根据水量平衡原理，按照一定的配水原则，将可供水资源量依次分配给用水单元的过程。 该方法只适用于单元节点少、计算过程和配水原则简单的水资源配置，且需要对计算结果进行人工调整，以符合实际要求。 逐步模拟法是根据配水的先后次序，并考虑水资源配置的各种约束条件逐一计算各个分水节点及其所涵盖的计算单元的需水、用水、耗水等指标，直至所有节点和计算单元都计算完毕。 该方法可满足大部分水资源配置工作的需求，一般需要通过编程来实现。 整体模拟法是先将配水资源配置的先后次序、配水的目标及各种约束条件用函数表示出来，然后联立所有函数统一求解。 该方法的优点是