期中复习二立体几何大题.doc

期中复习2—立体几何（解答题部分） 1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直线A1F平面ADE. 如图直三棱柱ABC－A′B′C′，BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点． (1)证明：MN平面A′ACC′； (2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值． 如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点． (1)求点C到平面A1ABB1的距离； (2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值． 如图在RtABC中，C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE＝2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图(2)． (1)求证：A1C平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点． (1)求证：B1EAD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由； (3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长． 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD＝120°，且PA平面ABCD，PA＝2，M，N分别为PB，PD的中点． (1)证明：MN平面ABCD； (2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值． 7、 如图所示，ACB＝45°，BC＝3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连结AB，沿AD将ABD折起，使BDC＝90°． (1)当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？ (2)当三棱锥A－BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小． 　　　　　　　　．证明：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC， 又AD平面ABC，所以CC1AD. 又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE， 所以平面ADE平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1. 因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1， 所以CC1A1F. 又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F平面BCC1B1. 由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD. 又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE. 解：(1)(证法一) 连结AB′，AC′，由已知BAC＝90°， AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱． 所以M为AB′中点． 又因为N为B′C′的中点． 所以MNAC′. 又MN平面A′ACC′， AC′平面A′ACC′， 因此MN∥平面A′ACC′. (证法二) 取A′B′中点P，连结MP，NP， M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MPAA′，PNA′C′， 所以MP平面A′ACC′，PN平面A′ACC′，又MP∩NP＝P， 因此平面MPN平面A′ACC′，而MN平面MPN， 因此MN∥平面A′ACC′. (2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O－xyz，如图1－5所示． 图1－5 设AA′＝1，则AB＝AC＝λ， 于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)． 所以M，N. 设m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量， 由得 可取m＝(1，－1，λ)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量， 由得 可取n＝(－3，－1，λ)． 因为A′－MN－C为直二面角，所以m·n＝0. 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝. 解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CDAB.又CDAA1，故CD面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为 CD＝＝. (2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1AA1∥CC1.又由(1)知CD面A1ABB1，故CDA1D，CDDD1，所以A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角． 因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1A