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* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第三讲 可降阶的高阶微分方程 脚本编写：彭亚新 教案制作：彭亚新 第七章 常微分方程 本章学习要求： 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程。 熟练掌 握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法： 了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐次 线性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐次线性微分 方程的解法. 第三节 几种可降阶的高阶常微分方程 二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。 “降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。 这是变量可分离的方程，两边积分，得 即 只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意：每次积分都应该出现一个积分常数。 例 解 例 解 这是一个一阶微分方程。设其通解为 连续积分即可求解。 例 解 两边积分，得 即 再积分，得原方程的通解 例 解 分离变量，得 积分，得 连续积分 4 次，得原方程的通解为 于是，原方程化为 这是一个一阶微分方程。设其通解为 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。 例 解 于是，原方程化为 两边积分，得 运用分离变量法，得此方程的通解为 综上所述，原方程的通解为
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