NA-4-1插值.ppt

Lagrange Interpolation in Matlab function v polyinterp x,y,u n length x ; v zeros size u ; for k 1:n w ones size u ; for j [1:k-1 k+1:n] w u-x j ./ x k -x j .*w; end v v + w*y k ; end x 1:6; y [16 18 21 17 15 12]; u .75:.05:6.25; v polyinterp x,y,u ; plot x,y,o,u,v,- ; Lagrange Interpolation in Matlab function v polyinterp x,y,u n length x ; v zeros size u ; for k 1:n w ones size u ; for j [1:k-1 k+1:n] w u-x j ./ x k -x j .*w; end v v + w*y k ; end x 0:10; y sin x ; u 0:.05:10; v polyinterp x,y,u ; plot x,y,o,u,v,- ; Interpolation andthe Lagrange Polynomial Since , and , we have An approximation to see Fig. 3.6 is . 差商 定义　给定一个函数表 　　在实际计算中，经常利用由表4-2给出的均差表。 注：? 由唯一性可知 Nn x ? Ln x ， 只是算法不同，故其余项也相同 牛顿四阶后差公式 N4 x 1.09861+0.34495 x-3.00 -0.06400 x-3.00 x-2.80 +0.01646 x-3.00 x-2.80 x-2.60 -0.00755 x-3.00 x-2.80 x-2.60 x-2.40 例:求 Newton差分插值多项式 根据二项式公式 Newton向前差分公式: 用抛物插值计算 sin0.3367时，可得 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了。 其截断误差得 其中 于是 事后误差估计 例:已知f x ex 的数据点如下： （1）用x1, x2, x3构造二次Lagrange插值多项式L2 x ， 并计算e1.5的近似值L2 1.5 。 （2）用事后误差估计方法估计L2 1.5 的误差。 20.0855 7.3891 2.7183 1 exi 3 2 1 0 xi L2 1.5 4.0505 差商与Newton插值多项式 　　Lagrange插值公式结构紧凑，便于理论分析。利用插值基函数也容易得到插值多项式的值。Lagrange插值公式的缺点是，当插值节点增加，减少或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构也发生变化，这在实际计算中是非常不利的。下面引入的newton插值公式可以克服这个缺点。 　　当n 1时，由点斜式直线方程知，过两点 x0,f x0 和 x1,f x1 的直线方程为 若记 则可把N1 x 写成 显然， N1 x 就是1次插值多项式L1 x 。 　　当n 2时，进而记 类似地，构造不超过2次的多项式 容易检验，这样的N2 x 满足插值条件 因此， N2 x 就是2次插值多项式L2 x 。 为了构造更 一般的插值多项式，我们引入差商的概念 例： 定理1: 差商具有如下性质 1 差商与函数值的关系为 2 差商与结点排列顺序无关 xi f xk 一阶均差 二阶均差 三阶均差 M M M M M ] , , , [ ] , , [ ] , [ ] , , [ ] , [ ] , [ 3 2 1 0 3 2 1 3 2 3 3 2 1 0 2 1 2 2 1 0 1 1 0 0 x x x x f x x x f x x f x f x x x x f x x f x f x x x f x f x x f x 表4-2 　　下面利用均差表2-2中加下画横线的均差值直接构造插值多项式。 根据均差定义，把x看成[a,b]上一点，可得 ] , , [ ] , [ ] , [ ] , [ 1 1 0 1 0 0 0 0 0 x x x x x f x x f x x f x x x x f x f x f - + - +