第八章向量代数与空间解析几何作业解答.doc

班级 姓名 学号 PAGE  PAGE 9 第八章 向量与空间解析几何 习题 向量及其线性运算 1．已知两点和． （1）求的模；（2）求与平行的单位向量；（3）求的方向角． 解： （1） （2） （3） 2．已知向量的两个方向余弦为，，且与轴的方向角为钝角，求． 解：由知， 又为钝角，故 3．已知，，且∥，求． 解： 习题 向量的乘积 1．设，，求 （1）及； （2）及； （3）与夹角的余弦； （4）以，为邻边的平行四边形面积； （5）既垂直于又垂直于的一个向量；（6）． 解：（1）， ； （2）， ； （3）； （4）； （5）； （6）. 或 2．设均为单位向量，且满足，求． 解：（法一）由知 解得. （法二）由于均为单位向量，且满足，故 （首尾相连构成等边三角形） （法三） 即 ，同理 ， 故 （法四） 同理 ， 故 习题 空间曲面 1．求以点为球心，且与平面相切的球面方程． 解：球心到平面的距离（即求的半径） 故所求球面的方程为： 2．一平面过原点且平行于向量和，求此平面方程． 解：取平面法向量： 又该平面过点，故所求平面方程为： 3．已知曲线求此曲线分别绕轴、轴旋转而成的旋转曲面方程． 解：绕轴旋转而成的旋转曲面方程：，即； 绕轴旋转而成的旋转曲面方程：，即 . 4．求平面与各坐标面间夹角的余弦． 解：平面的法向量，且. 又且. 故 平面与面间夹角的余弦：； 平面与面间夹角的余弦：； 平面与面间夹角的余弦：. 5．一平面过两点和且垂直于平面，求它的方程． 解：（法一）设所求平面的法向量为，由题意知，，故取 所求平面的方程为 即 . （法二）设为所求平面上的任意一点，则共面，故有 化简可得 . 习题 空间曲线 1．求过点且平行于直线的直线方程． 解：（法一）取直线的方向向量为： 又该直线过点，故所求直线方程为： （法二???过点且平行于平面的平面为： 过点且平行于平面的平面为： 故所求直线方程为： 2．求直线在平面上的投影直线方程． 解：（法一）联立解得直线与平面的交点为； 过点且垂直于已知平面的直线方程为 联立解得垂足坐标为； 即投影直线过点和，故投影直线方程为： ，即：. （法二）设已知直线与其投影直线所确定的平面的法向量为，由题意知 ，， 故取 ， 从而已知直线与其投影直线所确定的平面的方程为 即 故投影直线（一般式）方程为： （法三）过直线，即的平面束方程为 即 ，法向量为 根据题意，，即 解得：，即垂面方程为： 即 故投影直线（一般式）方程为： 3．一直线过点，与直线相交，且垂直于直线，求直线的方程． 解：设所求直线与的交点为，则 则 解得 ， 所以直线的方向向量 故直线的方程为：， 即 4．求两曲面和的交线在面的投影曲线的方程，并作图． 解：联立 ， 消去变量，并化简得交线在面上的投影柱面：， 交线在面上的投影曲线：