埃尔米特多项式.doc

埃尔米特多项式 在 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6 \o 数学 数学中，埃尔米特多项式是一种经典的 HYPERLINK /wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4 \o 正交 正交 HYPERLINK /wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F \o 多项式 多项式族，得名于 HYPERLINK /wiki/%E6%B3%95%E5%9B%BD \o 法国 法国 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6 \o 数学家 数学家 HYPERLINK /wiki/%E5%A4%8F%E5%B0%94%C2%B7%E5%9F%83%E5%B0%94%E7%B1%B3%E7%89%B9 \o 夏尔·埃尔米特 夏尔·埃尔米特。 HYPERLINK /wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA \o 概率论 概率论里的 HYPERLINK /wiki/%E5%9F%83%E5%A5%87%E6%B2%83%E6%96%AF%E7%B4%9A%E6%95%B8 \o 埃奇沃斯级数 埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6 \o 组合数学 组合数学中，埃尔米特多项式是 HYPERLINK /wiki/%E9%98%BF%E4%BD%A9%E5%B0%94%E6%96%B9%E7%A8%8B \o 阿佩尔方程 阿佩尔方程的解。 HYPERLINK /wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6 \o 物理学 物理学中，埃尔米特多项式给出了 HYPERLINK /wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%B0%90%E6%8C%AF%E5%AD%90 \o 量子谐振子 量子谐振子的 HYPERLINK /wiki/%E6%9C%AC%E5%BE%81%E6%80%81 \o 本征态 本征态。 定义 埃尔米特多项式有两种常见定义。第一种是： 这是概率论中较为常用的形式（记作：）。有时也会使用另一种定义： 这是物理学中较为常用的形式（记作：。这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是： 下文中一般会使用第一种定义，也是概率学家偏好的定义。因为 是标准 HYPERLINK /wiki/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83 \o 正态分布 正态分布函数（ HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%9C%9F%E6%9C%9B \o 数学期望 数学期望等于0， HYPERLINK /wiki/%E6%A0%87%E5%87%86%E5%B7%AE \o 标准差 标准差等于1）的 HYPERLINK /wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%AF%86%E5%BA%A6%E5%87%BD%E6%95%B0 \o 概率密度函数 概率密度函数。 前六个概率学的埃尔米特多项式的表达式为： 概率学和物理学中的埃尔米特多项式序号概率学物理学 前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。 前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。 性质 多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n。 正交性 多项式Hn 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。 ?? （对于概率论的埃尔米特多项式） ?? （对于物理学的埃尔米特多项式） 也就是说，当m?≠ n 时： 除此之外，还有： ?? （对于概率论的埃尔米特多项式） ?? （对于物理学的埃尔米特多项式） 完备性 在所有满?? 的函数所构成的 HYPERLINK /wiki/%E5%AE%8C%E5%A4%87%E7%A9%BA%E9%97%B4 \o 完备空间 完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组 HYPERLINK /wiki/%E5%9F%BA \o 基 基。其中的 HYPERLINK /wiki/%E5%86%85%E7%A7%AF \o 内积 内积定义如下：