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第二章标量衍射理论鲁东大学物理与光电工程学院1菲涅耳衍射公式旁轴近似下的衍射被称为菲涅尔衍射。相应的脉冲响应被称为菲涅尔衍射脉冲响应2夫琅禾费近似或远场近似基尔霍夫理论基本思想概括基尔霍夫理论是描述球面子波相干叠加的衍射理论,它证明了光的传播现象可以看做线性不变系统。基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播,是把孔径平面上的光场看做点源的集合,观察平面上的光场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加。球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。3一、平面波的数学描述1、空间分布等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量k.以k表示的等相平面方程为k.r=const.故平面波复振幅表达式为:4光波的数学描述2、平面波:在给定平面的分布在x-y平面上的等位相线xcosa+ycosb=const为平行直线族在与原点相距为z的平面上考察平面波的复振幅:53、平面波的空间频率在与原点相距为z的平面上考察平面波的位相分布.等位相线是平行直线族.为简单计,先看k在x-z平面内:cosβ=0等位相面是平行于y轴的一系列平面,间隔为l64、平面波的空间频率7平面波的空间频率:一般情形定义:复振幅变化空间周期的倒数称为空间频率89引入空间频率概念后,单色平面波在xy平面的复振幅分布可以表示为5、复振幅分布的空间频谱(角谱)即:把U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合,各分量的权重因子是A(fx,fy).物理上,exp[j2π(fxx+fyy)]代表传播方向余弦为cosα=λfx,cosβ=λfy的单色平面波在xy平面的复振幅分布,U(x,y)是不同平面波分量分布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx,fy)决定.#105、复振幅分布的空间频谱(角谱)11由标量衍射理论知,相干光场在给定二平面间的传播过程就是通过一个二维线性系统(除夫琅和费衍射外);一定条件下为线性空不变系统。函数是二维线性空不变系统的本征函数函数表示振幅为1的平面波在xy平面上形成的复振幅分布与平面波的传播方向相联系,表示了单色平面波的传播方向§2.4衍射的角谱理论12被称为光场分布的角谱。任一平面光波场可以看成无数组传播方向不同、幅值不同的平面波叠加而成,在叠加时各平面波有自己的振幅和相位,它们的值分别为角谱的模和幅角傅里叶逆变换的物理意义13复振幅分布的角谱如果把相干光场在自由空间两平面间的传播看作是通过一个二维线性空不变系统,则单色平面波在该输入平面上形成的分布即为该系统的本征函数。单色平面波与本征函数之间的这种联系不是偶然的。单色平面波在自由空间中传播一段距离后,只是相位改变一定数值,而无其它变化,即相当于乘上一个复常数,这恰好就是本征函数的表达式。14复振幅分布的角谱由函数的傅里叶变换关系式有为光波场的角谱用方向余弦表示15平面波角谱的传播孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一平面被分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。16孔径平面(x0,y0)的场分布为,观察平面上的场分布为,则它们相应的角谱相应为和复振幅分布的角谱17假如我们能够找到和之间的关系,就知道了每一平面波分量在传播过程中振幅和相位发生的变化,自然也就可以确定整个光场由孔径平面传播到观察平面所发生的变化。18角谱之间的关系角谱传播规律的基础仍然是标量波动方程所满足的波动方程为19角谱之间的关系解微分方程,得到方程的一个基本解是由边界条件确定。在z=0处即为孔径平面,角谱是,因此20角谱之间的关系上式物理意义:通过z=0平面上光场的角谱就可以求出观察面上的角谱。然后通过博里叶逆变换求出观察面上的复振幅分布。上式具有和基尔霍夫衍射公式同等的价值。21当传播方向余弦满足时,角谱关系式才真正对应于空间某一确定方向传播的平面波。这些平面波分量在空间传播一定距离z仅仅是引人了一定的相位移动,而振幅不发生变化.这与平面的性质相一致,平面在空间传播既不会改变方向,也不会改变振幅几种情况讨论(1)22几种情况讨论(2)公式中的平方根是虚数式中为实数。角谱将随z的增大而按指数衰减,在几个波长的距离内几乎衰减为0,对应于这些传播方向波动分量称为倏逝波,在通常情况下均略而不计23几种情况讨论(3),在此情况下,该波动分量的传播方向垂直于z轴,它在z轴方向的净能流量为零。24传递函数将写成把和分别看做系统的输入和输出频谱,由上式给出的输入和输出频谱关系再次说明系统是线性不变系统。系统在频域的效应由传递函数表征:25传递函数由于在所讨论的问题中,传播距离z总是极大于几个波长,所以可忽略倏逝波,于是传递函数可以写做这表明该系统的传递函数相当于一个低通滤波器,截止频率为.在频率平面上,这个滤波器的半径为的圆孔.对于孔径比波长还小的精细结
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