第5章大数定律及中心极限定理精讲.ppt

* 第五章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 5.1 大数定律 方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏离程度。 对任意大于零的常数 ，事件 发生的概率应该与 有一定的关系 如果 越大，那么 也会大一些。 把这个直觉严格化，就是下面著名的切比雪夫不等式。 上一页 下一页 返回 定理5.1（切比雪夫不等式） 设随机变量 X 的均值 E(X) 及方差D(X)都存在，则对于任意给定的 ，有不等式 或 例 5.1 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率. 练习：设随机变量 的数学期望 ，方差 ，估计 的大小. 说明 从定理中看出，如果D(x) 越小，那么随机变量 X 取值于开区间 中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心 (E(X)) 的离散程度的数量指标． 定义5.1 如果对任意的n 1， 是相互独立的，称随机变量序列 （简记作 ）是相互对立的. 此时，若所有 又有相同的分布函数，则称 是独立同分布的随机变量序列 定义5.2 设 是一随机变量序列， a 为一常数，对于任意给定的 ，有 则称随机变量序列 依概率收敛于a . 记为 设相互独立的随机变量序列 分别具有均值 及方差 且若存在常数C，使 则对于任意给定的 ，有 定理5.2（切比雪夫大数定律） 切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的。这意味，经过算术平均以后得到的随机变量 将比较密的聚集在它的数学期望的 附近，它与数学期望之差依概率收敛到0. 定理5.3（伯努利大数定律） 故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 根据实际推断原理, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率. 关于伯努利大数定律的说明: 关于辛钦大数定律的说明: (1) 不要求方差存在; (2) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况. 定理5.4（辛钦大数定律） 5.2 中心极限定理 定理5.5（林德贝格—勒维中心极限定理，也称为独立同分布中心极限定理） 定理表明: 例5.2 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100g，标准差为10g，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500g的概率. 例5.3 世界原油每桶价格每天的变化 是均值为0，方差为2的随机变量（单位:美元），即 其中 表示第n天每桶原油的价格， 是独立同分布随机变量序列. 如果今天原油每桶价格为27美元，求18天后每桶原油价格在23~31美元之间的概率. 例5.4 某单位内部有260 部电话分机，每部分机有4%的时间使用外线与外界通话，可以认为每部电话分机使用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能 95% 满足每部分机在使用外线时不用等候? 解 是260个相互独立的随机变量，且 表示同时使用外线的分机数， 由定理5.5有 根据题意应确定最小的 x 使下式成立