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更新过程; ;为避免平凡情况，假定F(0)1.设μ=EX1。令Fn(·)为部分和Sn的分布函数。由于{Xk,k≥1}是独立同分布的随机变量序列，所以Fn(·)是F(·)的n重卷积。根据(1.1.1)可得 {N(t) ≥n}={Sn ≤ t}. 所以 Pr(N(t)=n)=Pr(N(t) ≥n)-Pr(N(t) ≥n+1) =Pr(Sn ≤ t)-Pr(Sn+1 ≤ t) =Fn(t)-Fn+1(t) (1.1.2); 注： 在有限的时间内不可能有无限多次更新发生。 因为;定理1.1.1 对于任意的t≥0, ,并且m(t) ∞;6;一、更新方程 设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为 M(t)，则;定理：m(t)和M(t)分别下面的积分方程;9;;定理1.2.1;定理1.2.2 ，我们有;由中心极限定理，当t → ∞时， 收敛到一个均值为0方差为1的正态随机变量。又因为;定义1.2.1 如果对于任意的n=1,2,…,事件{N=n}与Xn+1,Xn+2,…独立，则称整随机变量N为随机变量序列X1,X2,…的停时。;15;定理1.2.3 (Wald等式) 设{Xn，n ≥1}是一列非负的，独立同分布随机变量序列，N是其停时，并且EN ∞,则;定理1.2.5 (基本更新定理);引理1.2.6 对于任意的常数h0,m(t+h)-m(t)是一个关于t的有界函数，事实上, m(t+h)-m(t) ≤1+m(h). ;;20;21;交错更新定理;23;24; R(t)表示到时刻t为止所得的总酬劳。很多概率模型是上述模型的特殊情况。设 ERn=ER EXn=EX; 例（产品保修策略）设某公司所售出商品采取如下更换策略：在期限[0，w]内，则免费更换产品。若在（w,w+T]期间损坏，则按使用时间折价更换新产品，并且对[0，w]内更换的新产品执行原来的更换期，而对（w,w+T]期间折价更换的新产品，从更换时刻重新计算更换期。讨论长期执行此策略对厂家的影响（厂家的期望利润）。 解 设t=0时用户购买一个新产品，售价为c元，成本为c0c产品寿命为X，其分布函数为F(x)，;则用户的更换策略是;从而;从而;对公司而言，在一个购买周期(0,Y1]内，公司的期望成本为