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1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第1课时 勾股定理 做一做 如图,在方格纸上(设小方格边长为单位1)画一个顶点都在个点上的直角三角形,使其两直角边分别为3,4,量出这个直角三角形的斜边的长度. 议一议 在方格纸上,以图中的Rt△ABC的三边为边长 分别向外作正方形,得到三个大小不同的正方形, 如图,那么这三个正方形的面积S1,S2,S3之间有 什么关系呢? 在上图中,S1+S2=S3,BC2+AC2=AB2, 那么是否对所有的直角三角形,都有两 直角边的平方和等于斜边的平方呢? 如图,任作一个Rt△ABC,∠C=90°,若BC=a, AC=b,AB=c,那么a2+b2=c2是否成立? 我们来进行探究: 步骤1 先剪出4个如图1所示的直角三角形,由于每个直角三角形的 两直角边长为a,b(其中b>a),于是它们全等(SAS),从而它们的 斜边长相等.设斜边长为c. 步骤2 再剪出1个边长为c的正方形,如图2所示. 步骤3 把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图3的图形. 由于△DHK≌△EIH, ∴∠2=∠4. 又∵∠1+∠2=90°. ∴∠1+∠4=90°. 又∠KHI=90°, ∴∠1+∠KHI+∠4=180°,即D,H,E在一条直线上. 同理E,I,F在一条直线上;F,J,G在一条直线上,G,K, D在一条直线上. 因此拼成的图形是正方形DEFG,它的边长为(a+b), 它的面积为(a+b)2. 又正方形的DEFG的面积为c2+4· ab, ∴(a+b)2=c2+4· ab. 即a2+2ab+b2=c2+2ab, ∴a2+b2=c2. 由上述可得到直角三角形的性质定理: 其实我国早在三千多年前就已经知道直 角三角形的上述性质,由于古人称直角三角 形的直角边中较短的一边为勾,较长的一边 为股,斜边为弦(如图),因此这一性质被 称为勾股定理. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的 关系,在直角三角形中,若已知直角三角形 的任意两条边长,我们可以根据勾股定理, 求出第三边的长. 如图,在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=13cm, BC=10cm,AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长 吗? 解 在△ABC中, ∵AB=AC=13,BC=10,AD⊥BC, ∴BD= BC=5. 在Rt△ADB中, 由勾股定理得,AD2+BD2=AB2, 故AD的长为12cm. * 我量得c为5. S3 S2 S1 由图可知,S1=32,S2=42,为了求S3,我可以先算出红色区域内大正方形的面积,再减去4个小正方形的面积,得S3=52. ∵32+42=52. ∴S1+S2=S3. 探究 图3 结论 直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方.a2+b2=c2. 例 题 1.在△ABC中, ∠C=90°,a=6,b=8, 则c=____ 2.在一个直角三角形中, 两边长分别为6、 8,则第三边的长为________ . 10 10 或 练习 3.求出下列直角三角形中未知边的长度 解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定 理得:AB2=AC2+BC2 即x2=62+82,x2 =100. ∴ x=10. ∵x0, 即x2+52=132,x2=144. ∴ x=12 (2)在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2. ∵x0 练习 今天这堂课学了什么内容? 反 思 小 结 勾股定理: 直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方.a2+b2=c2. *
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