同济第六版《高等数学》（全册教案308P）.doc

函数与极限 教学目的： 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 掌握基本初等函数的性质及其图形。 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 掌握极限的性质及四则运算法则。 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 复合函数及分段函数的概念； 基本初等函数的性质及其图形； 极限的概念极限的性质及四则运算法则； 两个重要极限； 无穷小及无穷小的比较； 函数连续性及初等函数的连续性； 区间上连续函数的性质。 教学难点： 分段函数的建立与性质； 左极限与右极限概念及应用； 极限存在的两个准则的应用； 间断点及其分类； 闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a(M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A({a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A({a1, a2, ( ( (, an}, M({x | x具有性质P }. 例如M({(x, y)| x, y为实数, x2(y2(1}. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N({0, 1, 2, (?(?(, n, (?(?(}. N(({1, 2, (?(?(, n, (?(?(}. R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z({(?(?(, (n, (?(?(, (2, (1, 0, 1, 2, (?(?(, n, (?(?(}. Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 若x(A, 则必有x(B, 则称A是B的子集, 记为A(B(读作A包含于B)或B(A . 如果集合A与集合B互为子集, A(B且B(A, 则称集合A与集合B相等, 记作A(B. 若A(B且A(B, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作(. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作A(B, 即 A(B({x|x(A或x(B}. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作A(B, 即 A(B({x|x(A且x(B}. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即 A\B({x|x(A且x(B}. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律A(B(B(A, A(B(B(A; (2)结合律 (A(B)(C(A((B(C), (A(B)(C(A((B(C); (3)分配律 (A(B)(C((A(C)((B(C), (A(B)(C((A(C)((B(C); (4)对偶律 (A(B)C(AC (BC, (A(B)C(AC (BC. (A(B)C(AC (BC的证明: x((A(B)C(x(A(B(x(A且x(B(x(A C且x(BC (x(AC (BC, 所以(A(B)C(AC (BC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元