第一电磁学剖析.ppt

其中 是球面积，等于4πr2，故： 1、研究通过包围一个电量为q的点电荷的球面的电通量 以q为心作半径为r的球，在球面上任取一面元 ds（图l-15），其电通量为（P16）: 整个球面的电通量为： 在任意形状闭合曲面S内外各作一个以q为球心的球面S1和S2。由于球面S1和S2之间无其它电荷，故电场线不会中断。因而穿过闭合曲面S和球面S1和S2的电场线数目相等。而穿过球面电场线的条数等于 q/?0，故穿过任一闭合曲面的电通量必然也是q/?0 （1.20） 这说明球面的电通量与点电荷的电量成正比而与半径无关。 2、对于包围q的任一闭合曲面的电通量 3、可以证明不包围点电荷q的任意闭合面（图1－17a的S0）的电通量为零。 图1－17 不包围q的闭合面通量为零 （a)闭合曲线L把闭合面S0分为S1及S3 (b)补做曲面S2 ? 其中 是第i个点电荷qi在S面上的电通量。 的取值只有两个可能：当qi在S内时， ＝ ，当qi在S外时， =0。因此，式（l.24）中的 等于S面内点电荷的代数和（以q内表示）除以ε0。以图1-18为例，q内=ql＋q3＋q4。于是式（1.24）成为: 以上讨论了点电荷电场中闭合面的电通量。 如果电场由n个点电荷激发（图1-18），可用场强迭加原理把任一闭合曲面S的电通量写为: (1.24) 图1-18 n个点电荷的场中闭合面的通量 对连续分布的带电体，可分割为无限多个电荷元dq，各电荷元可视为点电荷，因此上式仍然成立。 电场中任一闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷的代数和除以ε0。 其数学表达式为： 静电场的高斯定理 （1）高斯定理说明，闭合面外的电荷对闭合面的通量没有贡献，但这不意味着这些电荷对闭合面上各点的场强没有贡献。例如，图1－18中的点电荷q5总要按点电荷场强公式在周围（包括闭合面上的点）激发场强，只是由于它对闭合面各面元提供的通量有正有负，才导致q5对整个闭合面贡献的通量为零。 对高斯定理还有必要说明以下四点： （2）可能提出这样的问题：当带电体恰好位于闭合面上时，它对这个闭合面的电通量有没有贡献? 这种情况可根据面内、外的实际电量来计算。 （3）高斯定理是静电场的一条重要基本定理，它是从库仑定律导出来的。它主要反映了库仑定律的平方反比律，即 。如果库仑定律不服从平方反比律，我们就不可能得到高斯定理。因此证明高斯定理的正确性是证明库仑定律中平方反比律的一种间接方法。我们曾指出，直接用扭秤法证明平方反比律的精度是非常低的，通过高斯定理证明平方反比律可获得非常高的精度。 （4）认为高斯定理与库仑定律完全等价，或认为从高斯定理出发可以导出库仑定律的看法是欠妥的，因为高斯定理并没有反映静电场是有心力场这一特性。实际上，不增添附加条件如点电荷的电场方向沿径向并具有球面对称性等，并不能从高斯定理导出库仑定律。库仑定律不但说明电荷间的相互作用力服从平方反比律，而且说明电荷间的作用力是有心力。因此，在静电范围内，库仑定律比高斯定理包含更多的信息。在一些特殊情况下，利用高斯定理也可以从已知的电荷分布计算它们激发的场强。 在电荷分布已知时，虽然原则上可由库仑定律和迭加原理求得各点的场强，但计算往往比较复杂。 当电荷分布具有某种对称性时，场强的计算可以由于应用高斯定理而大为简化。 4.3 用高斯定理求场强 解：在场中任取一点P。由电荷分布的对称性可知其E与带电面垂直（可用反证法来证明）。过P点作一个与带电面平行的小平面S1；以S1为底作一个与带电面垂直的柱体，其长度等于P点到带电面距离的两倍（见图1-20）。柱体表面的电通量φE等于两底面S1及S2的电通量及与侧面的电通量之和： 例1 电荷以面密度σ均匀分布于一个无限大平面上，求其激发的场强。 因侧面各点的E与侧面平行,故 而 图1－19用反证法证明场强与带电面垂直 图1－20用高斯定理求均匀带电无限大平面的场强 E1n是E1在 方向上的投影。当σ＞0时，El 与 同向，E1n＞O；当σ＜0时，El与 反向，E1n＜0。 同理： 由对称性可知E1n =E2n ，以En简记E1n及E2n，有： φE＝2EnS 另一方面，包在封闭柱面内的电量为: q内=σS 由高斯定理知: 2EnS＝σS／ε0 故 En＝σ／2ε0 （1.26） 其矢量形式为： （1.27）