常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析专题50轨迹方程的求法.doc

第50讲：轨迹方程的求法 【考纲要求】 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 列式：用坐标表示条件,列出方程； 化简：化方程为最简形式； 检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来。 3、求轨迹方程的四种主要方法 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数。 （2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程。 （3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。 （4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参。 例1 线段与互相垂直平分于点，，，动点满足，求动点的轨迹方程． 　解：如图1，以中点为原点，直线为轴建立直角坐标系． 　　设，易知． 　　[来源:学,科,网]． 　　整理得， 故动点的轨迹方程为． 例2 已知圆： ，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹。 解：设，由题得是直角三角形，且 在直角三角形中， 所以动点P的轨迹方程为它是以点为圆心，4为半径的圆。 (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 方法二 待定系数法 使用情景 通过已知条件的分析可以得到动点满足某种曲线（圆、圆锥曲线）的定义。 解题步骤 （1）分析出动点满足的方程；（2）证明动点满足某曲线（圆、圆锥曲线）的定义；（3）设出该曲线的待定系数方程；（4）求出待定系数，即得所求的轨迹方程。 [来源:Z。xx。k.Com]和都外切，求动圆圆心的轨迹方程． 　　解：设半径为的动圆圆心为， 　　因为圆与圆，圆都外切， 　　则，，． 　　因此点的轨迹是焦点为中心在的双曲线的左支． 故所求轨迹方程为． 在面积为1的中，．建立适当坐标系，求[来源:学科网]为焦点且过的椭圆方程． 　　解：如图2，以直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系． 　　设所求椭圆方程为，焦点为， 　　由，， 　　得直线，　　　　　① 　　直线　　　　　　　 ② 　　①，②联立，求得点． 　　又， 　　可得，则点． 　　又，， 　　则． 　　又， 故所求椭圆方程为． 【点评】此题已知已经告诉是椭圆，所以直接利用待定系数法，先定式，后定量。 【变式演练2】　在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程． 　例5　已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程． 　　解：设点，，由，知点分所成的比为，则 又点在抛物线上，则． 整理得为所求轨迹方程． 　 例6 已知曲线 （1）证明:当时，曲线是一个圆； （2）求证圆心在一条定直线上。 【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答。 【变式演练4】　已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程． 　　 【解析】设，又知，则 直线的方程为 ① 由，知，所以。从而，因而为定值 [解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x0,. 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3） 当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB, 有tan∠MBA=,即 解得，m1,且m2 设Q、R的坐标分别为，由有 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( ) A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 2 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ) A B C D 3. 如图,定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点[来源:Zxxk.Com] △ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________ 6 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________ 7 已知A、B