2015年第一轮复习经典：第二章2.2函数的单调性与最值….doc

第2课时　函数的单调性与最值1．理解函数的单调性会讨论和证明一些简单的函数的单调性．理解函数的最大(小)值及其几何意义并能求出一些简单的函数的最大(小)值．【梳理自测】 一、函数的单调性下列函数f(x)中满足“对任意x(0，＋∞)当x＜x时都有f(x)＞f(x)”的是(　　)(x)＝　　　　　　　　．(x)＝(x－1)(x)＝(x)＝(x＋1)函数y＝x＋2x－3(x＞0)的单调增区间是(　　)(0，＋∞) ．(1＋∞)(－∞－1) ．(－∞－3]答案：　2.A以上题目主要考查了以下内容：(1)单调函数的定义增函数 减函数定义 一般地设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x当x＜x时都有(x1)＜f(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x＜x时都有(x1)＞f(x)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(2)若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性区间D叫做y＝f(x)的单调区间．二、函数的最值(教材改编)f(x)＝x－2x(x∈[－2])的最小________，最大值为________．2．(教材改编)函数f(x)＝在[1]的最大值为________最小值为________．答案：1.－1　8　2.　1以上题目主要考查了以下内容：前提 设函数y＝f(x)的定义域为I如果存在实数M满足条 件对于任意x∈I都有f(x)≤M；存在x使得(x0)＝M对于任意x∈I都有f(x)≥M存在x使得(x0)＝M结论 M为最大值 M为最小值【指点迷津】　 ．函数的单调性是局部性质函数的单调性从定义上看是指函数在定义域的某个子区间上的单调性是局部的特征．在某个区间上单调在整个定义域上不一定单调．如y＝x在(－∞＋∞)上不具有单调性 .f(x)在区间[a]上单调递增与函数(x)的单调递增区间为[a]的含义不同．函数的单调区间是函数定义域的子区间所以求解函数的单调区间必须先求出函数的定义域．单调区间只如函数y＝的单调减区间为(－∞)∪(0，＋∞)是错误的． 考向一　判断函数的单调性　判断函数f(x)＝在(－1＋∞)上的单调性并证明．【审题视点】　利用单调性定义证明．【典例精讲】　当a＞0时函数y＝f(x)在(－1＋∞)上单调递增．当a＜0时函数y＝f(x)在(－1＋∞)上单调递减．证明如下：设－1＜x＜x则f(x)－f(x)＝－＝＝－1＜x＜x－x＜0＋1＞0＋1＞0.当a＞0时(x1)－f(x)＜0即f(x)＜f(x)， ∴函数y＝f(x)在(－1＋∞)上单调递增．同理当a＜0时(x1)－f(x2)＞0即f(x)＞f(x)， ∴函数y＝f(x)在(－1＋∞)上单调递减．【类题通法】　(1)判定(或证明)函数单调性的主要方法有：能画出图象的函数用图象法．能作差变形的用定义法．能求导的函数用导数法．由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数用转化法．(2)判断函数的单调性应先求定义域；(3)用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论其中变形为关键而变形的方法有因式分解、配方试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1)上的单调性．解析：设－1＜x＜x＜1(x)＝a＝a(x1)－f(x)＝a－a＝a当a＞0时(x1)－f(x)＞0即f(x)＞f(x)， 函数f(x)在(－1)上递减；当a＜0时(x1)－f(x)＜0即f(x)＜f(x)， 函数f(x)在(－1)上递增．考向二　求函数的单调区间　求下列函数的单调区间．(1)函数f(x)＝x＋(a＞0)(x＞0)；(2)函数y＝【审题视点】　(1)用定义法(2)用复合函数法．【典例精讲】　(1)设x＜x(x1)－f(x)＝x＋－(x＋)＝(x－x)＋＝(x－x)· 当0＜x＜x＜时＜a(x1)－f(x)＞0.在(0)上(x)是减函数．当＜x＜x2时＞a(x1)－f(x)＜0(x)在(＋∞)上是增函数(x)＝x＋(a＞0)的增区间为(＋∞)减区间为(0)．(2)令u＝x＋x－6＝可以看作有y＝与u＝x＋x－6的复合函数．由u＝x＋x－6≥0得x≤－3或x≥2.＝x＋x－6在(－∞－3]上是减函数在[2＋∞)上是增函数而y＝在(0＋∞)上是增函数．＝的单调减区间为(－∞－3]单调增区间为[2＋∞)．【类题通法】　求单调区间的方法(首先求定义域)定义法：注意证明函数单调性只能用定义和导数法．图象法：图象上升区间为增区间；图象下降区间为减区间．导数法：f′(x)＞0的解的区间为增区间；(x)＜0的解的区间为减复合函数法：按复合函数“同增异减”的原则确定原函数的单调区间．(1)函数f(x)＝(2x＋1)的单调增区间为________．(2)函数y＝x－|1－x|的单调增区间为___