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第二章 向量组和向量空间 教学安排说明 章节题目：§2.1 维向量及其线性运算；§2.2向量组的线性相关性；§2.3向量组的秩 学时分配：共6学时。 §2.1 维向量及其线性运算 2学时 §2.2 向量组的线性相关性 2学时 §2.3 向量组的秩 2学时 本章教学目的与要求：： 目的：使学生掌握向量的线性运算及线性相关性的判定，为下一章理解线性方程组解的结构打基础。 要求： 1、理解维向量的概念和运算。2、深刻理解向量的线性组合、向量组线性相关与线性无关的概念（本章的难点）。3、深刻理解向量组的极大无关组和向量组秩的概念。会求向量组的秩和极大无关组（本章的难点）。 4、掌握向量组线性相关性的判定 课 堂 教 学 方 案 课程名称：§2.1 维向量及其线性运算 授课时数：2学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：掌握向量的定义及其线性运算满足的规律，掌握向量内积、夹角、正交等概念 教学重点、难点：重点是向量内积、夹角、正交等概念 教学内容 §2.1 维向量及其线性运算 一、维向量的概念 定义1 所谓一个维向量就是由个数组成的有序数组 (1) 称为向量(1)的第分量.通常用小写希腊字母来代表向量. 向量通常是写成一行：.有时也可以写成一列： . 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同. 分量全为零的向量称为零向量，记为0 全体维实向量的集合记作 线性方程组 中的每一个方程都可以用一个维向量表示 例2、例3见教材 二、向量的线性运算 如果维向量 的对应分量都相等，即 . 就称这两个向量是相等的，记作. 向量的加法 定义2 已知向量，向量 称为向量 的和，记为 数乘向量 定义3 设为数，向量称为向量与数的数量乘积，记为 向量称为向量的负向量，记为. 向量的减法 已知向量，定义向量 称为向量 的减法，记为 向量的转置 称为向量的转置，记作或 显然向量的运算满足以下运算规律 交换律： . (2) 结合律： . (3) . (4) . (5) , (6) , (7) , (8) . (9) (6)?(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出： , (10) , (11) . (12) 如果，那么 . (13) 补充例题 例1．计算 （i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）； （ii）5（0，1，-1）-3（1，，2）+（1，-3，1）． 例2．证明：如果 a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0）， 那么a = b = c = 0． 三、向量的内积 定义4 在中,设向量,称实数为向量的内积，记作 向量的内积具有以下性质： 1）[]=[]； 2）； 3）[]=； 4） 定义5 非负实数称为向量的长度，记作 显然向量的长度满足非负性、齐次性和三角形法则。向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零。 长度为1的向量叫做单位向量.如果,，向量就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化. 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使. 命题1 设向量，则有，且等号成立当且仅当两向量对应分量成比例 定义6 非零向量的夹角规定为 定义7 如果向量的内积为零，即，那么称为正交或互相垂直，记为. 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为. 只有零向量才与自己正交. 课后作业 P56 1；2；3 课 堂 教 学 方 案 课程名称：§2.2向量组的线性相关性 授课时数：2学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法 教