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* 一、复合函数的微分法 §7.5 多元复合函数与隐函数的微分法 二、隐函数的微分法 因为多元复合函数的求导法则在多元微积分中占有非常重 要的地位, 下面将一元复合函数的求导法则(链式法则), 推 广到多元的情形. 下面按照多元复合函数不同的复合情形, 分三种情况讨论. 而 定义7.5. 1设 则将 一. 复合函数的微分法 为中间变量. 的复合函数, 并称 称为 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理7.5.1 如果函数 及 都在点t处可导, 函数 在对应点(x, y)处可微, 则复合函数 在点 t 处可导, 且有 证 由于多元函数的复合关系可能出现多种情形, 因此, 分清复 合函数的复合层次是求偏导数的关键. 公式(7.5.1)中变量之间的关系可用下图来表示 其中, 从z引出的两个箭头指向x, y, 表明函数 z 有两个中间变 量x和y;而由x与y分别引出的一个箭头指向t, 表明中间变量 x, y 分别是 t 的函数. 上述定理中复合函数的中间变量可推广到多于两个变量的 情形. 例如, 设由函数 复合而得复合函数 变量之间的关系如下图 在与定理1的相似条件下, 上述复合函数在点t 可导, 且有 (7.5.2) 公式(7.5.1)及(7.5.2)中的导数 ??????称为全导数. 例1 求下列函数的全导数. z x y t 解 z x y x 2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 y z u v x 定理2 若 在点 处的偏导数 则复合函数 且 都存在, 且在对应于(x, y)的点(u, v)处, 函数 可微, 对 x 及 y 的偏导数都存在, …(7.5.3) …(7.5.4) 注1 此定理也可称为求导的链式法则. 事实上, 当z对x求偏导时, 应将y看作常数, 此时的中间变量 u,v均是x的一元函数, 从而z亦是x的一元函数, 于是可利用公 式(7.5.1). 此时应把相应的导数记号改写成偏导数记号, 就可 得公式(7.5.3);类似地可得公式(7.5.4). 可将此定理中复合函数的中间变量推广到多于两个的情形. 例如, 设由函数 复合而得复合函数 变量之间的关系如下图 z u v w x y 在与定理2的相似的条件下, 上述复合函数在点x, y可偏导, 且有 (7.5.5) (7.5.6) 为 对上式两边同除以 , 得 当 时, 对此式两边取极限, 得 证 设y不变而x有一个改变量 且u,v,z的相应改变量分别 则由 可微, 知 亦可记为 此写法常用于抽象函数的微分运算. 例2 解 从而 z 是 x, y 的复合函数, 由链式法则得 y z u v x 例3 解 y u s t x z 注2 在计算多元复合函数的偏导数时, 可不写中间变量, 而 个, 后对第j个中间变量求导”. 从而例3中的结果可写为: 表示 “函数?对第i个中间变量求导”, 用 用 表示先对第i y u s t x z 3. 复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形 定理7.5.3 如果函数 在点 处可偏导, 在点 处可导, 在对应点 处可微, 则复合函数 在点 处可偏导, 且有 变量之间的关系如右图 z u v x y ……(7.5.7) …(7.5.8) 此定理中的情形是定理2的一个特例. 因变量v与x无关, 因 此公式(7.5.3)中的 从而可得公式(7.5.7); 从而可得公式(7.5.8). 在v对y求导时, 因v是y的一元函数, 故公式(1.4.4)中的 ????? 应 换成 例3 其中f 可微, 证明: 证 变量之间的关系如右图所示. z u x x y 因为 z u x x y 故 可通过反复应用求导法则来求复合函数的高阶导数或偏导数. 例4 设函数f 二阶可偏导, 求函数 的二阶偏导 数 ? 解 z u v x y 则 f1 u v x y f2 u v x y 4. 全微分形式的不变性 一元函数有一阶微分形式的不变性, 类似地, 多元函数也有 一阶全微分形式的不变性. 下面我们以二元函数为例来说明. 定理7.5.4 证 若z作为以u,v为自变量的函数, 根据全微分的计算公式, 有 若z作为以u,v为中间变量的复合函数, 则由复合函数的求导 法则, 有 这一形式上的一致性, 称为全微分形式的不变性. 利用该性质不仅可以求复合函数的全微分, 还可以利用全 微分来求其偏导数.比如求例2. 例 设 z v w u y x 解
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