141条件概率与乘法公式.ppt

1.4.1 条件概率 、乘法公式 * 概率论 * 概率论 条件概率 乘法公式 小结 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B). 一般地 P(A|B) ≠ P(A) 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出4点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中. 容易看到 P(A|B) 于是 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题. 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1) 2. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率. 3. 条件概率的性质(自行验证) 2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P(B)0 掷骰子 例：A={掷出2 点}， B={掷出偶数点} P(A|B）= B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数 在缩减样本空 间中A所含样 本点个数 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1 解法2 解 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用 定义 在B发生后的缩减样本 空间中计算 由条件概率的定义： 即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 而 P(AB)=P(BA) 二、 乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 将A、B的位置对调，有 故 P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率 注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子 例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 所求为P(AB). 甲、乙共生产 1000 个 189个是 标准件 300个 乙厂生产 300个 乙厂生产 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件} 所求为P(AB) . 设B={零件是乙厂生产} A={是标准件} 若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?” 求的是 P(A|B) . B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件. 甲、乙共生产 1000 个 189个是 标准件 300个 乙厂生产 例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 所求为 P(B|A) . 条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小. P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同. 而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率. 乘法公式应用举例 一个罐子中包含a个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.