高数考研指导方法下分析报告.ppt

第四讲 线面积分计算法及其应用 (2) 基本技巧 ( P314, 3. ; P315, 4. ; P317, 6 ) 2. 曲面积分的计算法 ( P330 - P349 ) (2) 基本技巧 ( P314 ,3. ; P315 ,4. ; P317, 6 ) ? 高斯公式 4. 线面积分的应用及场论公式 物理应用的公式 ? 变力作功 ? 引力分量 (2) 场论公式 ( P346 - P347 ) 旋度 小弧段的求法： 如果方程为极坐标形式: 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 二. 实例分析 例2. 计算 例3. 计算 例4 练 习 练 习 第二型曲线积分 例1. 计算 例2 例3 例4 已知L为第一象限中由点 例5. 求 例6 计算 例7 计算 例8. 计算 例10 计算 例10 计算 例11 计算 例12 . 设 例13. 求具有一阶偏导数的函数 例14. 确定常数 例15. 确定常数 例16. 设 例17. 设在上半平面 例18 已知平面区域 例19. 质点M沿着以AB为直径的半圆, 从A(1,2)运动到 例20.在变力 求 例21 设 曲面积分的计算 练习 设 例3. 设 例5. 设 例6. 计算 例7. 计算 例8. 设曲面 例8. 设曲面 例8. 设曲面 例9. 设P是曲面 将Σ1向 例10. 设 ? 是四面体 定理: 设光滑曲面 高斯 ( Gauss ) 公式 例1 设Ω是锥面 例2. 设 ? 为柱面 例3. 设 ? 是曲线段 例4. 设 例5 设 例6 设Σ是锥面 例7 设曲面Σ是 例8 设 例9 设 例10. 设 ? 是曲面 例10. 设?是曲面 例1. 计算闭曲线 例2 求椭圆柱面 例3. 已知曲面壳 例4. 设 ? 是一光滑闭曲面, 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, ? 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 解 由高斯公式得 与半球面 围成的空间区域，Σ是Ω的整个边 界的外侧，则 ??????????? ????????? (08 考研 ) 及平面 z = 0 和 z = 3 所围立体表面外侧 , 计算 ( P341 例8 ) 解: 利用高斯公式 , 有 利用对称性 利用形心公式 绕 x 轴旋转 一周所成曲面外侧, 求 ( P338 例3;) 解: 作辅助曲面 取上侧 , 利用高斯公式 , 有 设它与 ? 所围区域为 ? , 是其外法线与 z 轴 正向夹成的锐角, 计算 ( P339 例5 ) 解: 取上侧 , 解: ( 04考研 ) 取 的下侧， 由高斯公式 的下侧，则 提示：取 的上侧， V为上述圆锥体体积。 在Σ1上， 10年考研 的上侧，则 ???????????? ?； 解 设辅助面： 取下侧。 利用对称性得 (08 考研 ) 取外侧 , 计算: ( P340 例6 ) 解: 取下侧 , 解: 取 取上侧, 计算 ( 考研.1998 ) 提示: 分母代入 , 再利用高斯公式 . 解: 取足够小的正数?, 作曲面 取下侧 使其包在 ? 内, 为 xoy 平面上夹于 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算 则 再添加辅助面, 取上侧, 计算 取上侧 再用高斯公式计算, 得 其中L是不经过 原点的任意一条简单光滑闭曲线，方向为逆时针方向。 时， 否则 加辅助曲线 取顺时针方向。 解 当 其中L是不经过 原点的任意一条简单光滑闭曲线，方向为逆时针方向。 取顺时针方向。 即 解 时，加辅助曲线 当 则 其中 L 是从点A( ?, 2 )到 B(3 ?, 4 ) 的光滑曲线(如图) , 且与 解: 所围面积为 2 . ( P325 例8 ) 其中 L 是从点 A( 3, 2/3 )到 B( 1, 2 ) 的直线段 . 计算 ( P326 例9 ) 解: 在第一象限取路径 x y = 2 , 从 A 到 B, 则 说明: 此题也可取路径为折线 请自己练习. 与路径无关, 且对任意 t 恒有 ( 考研.95; L.P327 例11 ) 解: 使曲线积分 左端 右端 由题设 两边对 t 求导得 故有 为某二元函数 u ( x, y ) 的梯度, 并求 u ( x, y ) . ( 考研98; P495 例7 ) 解: 已知 则 令 得 利用在 x 0 时积分与路径无关 , 则有 使在右半平面 x 0 上的向量 为某二元函数 u ( x, y ) 的梯度，并求 u ( x, y ) . ( 考研98; P495 例7 ) 使在右半平面 x 0 上的向量 s 是曲线段 L 的长度, 在 L 上连续, 证