自动控制系统课件_控制系统数学模型.ppt

要电路分析或设计自动控制系统，首先需建 立系统的数学模型。 所谓数学模型，就是描述系统各变量之间相 互关系的数学表达式。如时域中的微分方程 控制系统数学模型形式较多，时域中常用的 有微分方程、差分方程；复数域中有传递函数、 结构图；频域中有频率特性。 2-1 控制系统的时域数学模型 本节着重研究线性、定常、集总参数控制系统的 微分方程建立和求解。 1.线性元件的微分方程 电气元件组成的系统（电路系统） 弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统 求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动 方程。 设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位 移、速度、加速度分别为： 比较 R-L-C电路运动方程与 S-M-D机械系统运动方程 速度控制系统的微分方程 拉氏变换法求解线性微分方程步骤： ⑴考虑初始条件，对微分方程每一项进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程； ⑵由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式； ⑶对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。 5. 非线性元件微分方程的线性化 实际的物理元件都存在一定的非线性，例如 A为平衡状态 工作点对应： 当 有 具有两个自变量的非线性函数的线性化 2-2 控制系统的复数域数学模型—传递函数 时域中的数学模型 微分方程 传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的数学 模型。 频率法、根轨迹法就是以传递函数为基础的。 1、传递函数的定义与性质 定义：线性系统在零状态时，输出量的拉氏变换与输 入量的拉氏变换之比，记为G（s）。 设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述： 无源网络 用途：在控制系统中引入无源网络作为 校正元件，无源网络通常由电阻、电容、电感组成。 可用两种方法求取无源网络的传递函数： 1.列写微分方程，零状态条件下进行拉氏变换，从而得 到输出量与输入量之间的传递函数。 2.用复阻抗方法直接求出无源网络的传递函数。 电阻：R 电容：1/CS 电感：LS 2-3 控制系统的结构图及简化方法 结构方框图： 绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写系 统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表 示；然后根据各元部件信号流向，用信号线依次将各方 框连接便得到系统结构图。 系统结构图实质是系统原理框图与数学方程两者结 合，既补充了原理图所缺少的定量描述，又避免了纯数 学的抽象运算。从结构图上可以用方框进行数学运算， 也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起 的作用；更重要的是从系统结构图可以方便地求得系统 的传递函数。 系统结构图也是控制系统的一种数学模型。 系统结构图的建立方法 步骤： 1）用典型环节取代系统中的具体元件，并将各环节的传递函数填入方框图内；将信号的拉氏变换标在信号线附近。 2）按照系统中信号传递的顺序，依次将各环节的动态结构图连接起来，便构成系统的结构图。 （2）交换比较点，合并串联环节 （4）合并串联环节 进行结构图等效变换时，变换前后应保持信号的等效性。 化简示例5 转速控制系统结构图 无源网络的结构图 结构图的等效变换和简化 任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。 等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变 （1）串联等效 几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传 递函数的乘积。 例：隔离放大器串联的RC电路 同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递 函数之和。 （2）并联 （3）反馈 前向通道传递函数：输入端对应比较器输出 E(s) 到输出端输出 C(s) 所有传递函数的乘积，记为 G(s) 反馈通道传递函数：输出 C(s) 到 输入端比较器的反馈信号 B(s) 之间的所有传递函数之乘积，记为 H(s) 开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出 E(s) 到输入端对应的比较器的反馈信号 B(s) 之间所有传递函数的乘积，记为GK(s), GK(s)=G(s)H(s) 1、基于方框图的运算规则 （4）比较点和引出点的移动 2、基于比较点的简化 3、基于引出点的简化 4、方框图简化法—求系统的传递函数 （1）观察系统中是否存在相互交错的局部反馈回路； （2）确定系统中的输入输出量,把输入量到输出量的一 条线路列成方块图中的前向通道； （3）通过比较点和引出点的移