《2016年荐年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷》.doc

2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 2006.4.2 8：00～11：00 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列﹛an﹜的通项公式，则﹛an﹜的最大项是（ ） (A) a1 (B) a2 (C ) a3 (D) a4 2. 函数的图像大致是（ ） (A ) (B ) (C ) (D) 3. 已知抛物线y2=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P共有( ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个 4.设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数．若x1+x2O，x2+x3O，x3十x1O， 则 ( ) (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)f(x3) 5．过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有( ) (A)0条 (B)1条 (C)4条 (D)无数多条 6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若△ABC最长的边为1，则最短边的长为（ ） A． B． C． D． 二．填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 7．集合={x∣x=3n，∈N，010}，={y∣y=5m，∈N，O≤m≤6 则集合UB的所有元素之和为8．设θ= ，则θ+sin4 θ的值是9．3x2)3的展开式中，x的系数为 10.已知 ,则x2+y2的最大值是 11．等比数列的首项为，公比．设表示该数列的前n项的积， 则当n= 时，有最大值． 12．长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB1=4，AD1=3，则对角线AC1 的取值范围为 三、解答题（第13题、14题各12分，15题16分，16题20分） 13．设集合A=，B=，若A∩B≠，求实数a的取值范围。 14．椭圆的右焦点为F，，，…，为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中是椭圆的右点，并且=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S，求S的值． 收集整理 答案 1.B 2 . A 3. B 4. B 5. C 6. D 7. 225 8. 9. 27 10. 9 11. n=12 12. AC1∈(4,5) 13. a∈(-1,0)∪(0,3) 14. 180 15. 略 16. 质数p为2或3 6．解：由知B为锐角. 故 由（1）知，故c边最长，即c=1，又，故b边最短 由正弦定理得 即最短边的长为. 11．解 ， ∵， ∴当n≤10时，＞1，∴ | f(11) |＞| f(10) |＞…＞| f(1) |； 当n≥11时，＜1，∴ | f(11) |＞| f(12) |＞… ∵，∴的最大值为或中的最大者． ∵， ∴ 当n=12时，有最大值为． 16.解： 当p=2时，p2+71=75=52×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2 满足要求．当p=3时，p2+71=80=24×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3 满足条件． 当p3时，p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数 p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p—1)(p+1)是24的倍数， 从而p2+71是24的倍数． 设p2+71=24×m，m≥4． 若m有不同于2、3的质因数，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)l0； 若m中含有质因数3，则，p2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)10； 若m中仅含有质因数2，则p2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)10； 所以，p3不满足条件．综上所述，所求得的质数p是2或3. 我爱奥赛网:奥赛爱好者的网上家园 第