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2011年高考数学最后冲刺必读题解析(29)
20.(本小题满分12分)
已知抛物线经过点A(2,1),过A作倾斜角互补的两条不同直线.
()求抛物线的方程;
()当直线与抛物线相切时,求直线的方程
()设直线分别交抛物线于B,C两点(均不与A重合),若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切,求直线BC的方程.
()A(2,1)在抛物线,即. ………….2分求抛物线的方程,其准线方程为. ……………….3分()当直线与抛物线相切时,可知直线,所以直线,故直线,所以的方程为 …6分(), ………………8分 得,……….10分,
所以点B的坐标为,
同理可得C点坐标为, ……………….11分
, ……………….9分,因为以BC为直径的圆与准线相切,
所以 ,由于, 解得 . …………….10分,点C的坐标为,
直线BC的斜率为,
所以,BC的方程为,即. …….12分和的图象关于原点对称,且.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)解不等式;
(Ⅲ)若在上是增函数,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为,则
∵点在函数的图象上
∴
(Ⅱ)由
当时,,此时不等式无解。
当时,,解得。
因此,原不等式的解集为。
(Ⅲ)
①
②
ⅰ)
ⅱ)
(理科)设函数在上是增函数。
求正实数的取值范围;
设,求证:
解:(1)对恒成立,
对恒成立 又 为所求。…………5分
(2)取,,
一方面,由(1)知在上是增函数,
即……………………………………8分
另一方面,设函数
∴在上是增函数且在处连续,又
∴当时,
∴ 即
综上所述,………………………………………………12分
22.(本小题满分14分)
(文科)在数列
(1)求证:数列为等差数列;
(2)若m为正整数,当
解:(I)由变形得:
故数列是以为首项,1为公差的等差数列 (5分)
(II)(法一)由(I)得
(7分)
令
当
又
则为递减数列。
当m=n时,
递减数列。 (9分)
要证:时,
故原不等式成立。 (14分)
(法二)由(I)得
(7分)
令
上单调递减。(9分)
也即证,
故原不等式成立。 (14分)
(理科)已知数列中,,当时,其前项和满足,
求的表达式及的值;
求数列的通项公式;
设,求证:当且时,。
解:(1)
所以是等差数列。则。。
(2)当时,,综上,。
(3)令,当时,有 (1)
法1:等价于求证。
当时,令
,则在递增。
又,所以即。
法(2)
(2)
(3)
因
所以
由(1)(3)(4)知。
法3:令,则
所以
因则
所以 (5) 由(1)(2)(5)知
20.(12分)已知
(I)若,求的单调区间和极值;
(II)已知是的两个不同的极值点,且,若
恒成立,求实数b的取值范围。
21.(12分)已知、分别是椭圆的左、右焦点。
(I)若P是第一象限内该椭圆上的一点,,求点P的坐标;
(II)设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于同的两点A、B,且为锐角(其中O伟坐标原点),求直线的斜率的取值范围。高☆考♂资♀源€网 ☆
22.(14分)已知数列的前项和满足。
(1)写出数列的前三项;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:对任意的整数,有。
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