建立数学模型要点.ppt

1.允许状态集合 用（w, x, y, z），w, x, y, z=0或1，表示（人狗鸡米）南岸的状态，例如（1,1,1,1）表示它们都在南岸， （0,1,1,0）表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸； 允许状态集合为 S={(1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1)} 2、状态转移方程 对于一次过河，可以看成一次状态转移，我们用向量来表示决策，例（1，0，0，1）表示人，米过河。令D为允许决策集合， D={ (1, x, y, z) : x+y+z=0 或 1} sk+1=sk dk +(-1)k ~状态转移方程 求dk?D(k=1,2, ?n), 使sk?S, 并按转移律由 s1=(1,1,1,1)到达 sn+1=(0,0,0,0). 多步决策问题 (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 0, 1, 1) (1, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) (人、狗、鸡、米) 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 1.3.3 如何预报人口的增长 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型拟合图形（1790年至1900年） （增长率 r 是常数） 指数增长模型拟合图形（1790年至2000年） （增长率 r 是常数） 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据人口增长率 r 不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） （2000年数据用于进行模型检验） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 借助专家经验估计 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.229, xm=393.1 阻滞增长模型拟合图形（1860年至1990年） 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 误差约3.3% 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律。大体上描述物种数量的变化规律，并在社会经济领域有广泛应用(如耐用消费品的售量) 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.222, xm=433.1 x(2010)=303.3 数学建模的基本方法 机