matlab_lmi(线性矩阵不等式)工具箱中文版介绍及使用教程.pdf

LMI 工具箱介绍 线性矩阵不等式（LMI ）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件 包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块 矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩 阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用 于： 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式； 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； 修改现有的线性矩阵不等式系统； 求解三个一般的线性矩阵不等式问题； 验证结果。 本附录将详细介绍 LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令。 A.1 线性矩阵不等式及相关术语 一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式： L+ x +L +(L ) x x L 0 (1) 0 1 1 N N 其中： 是给定的对称常数矩阵， 是未知变量，称为决策变量， L L , ,L , x , x , 0 1 N 1 N [ , x ,x ]x 1 N T ∈R N 是由决策变量构成的向量，称为决策向量。 尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中，线 性矩阵不等式常常不是以一般表示式（1）的形式出现，而是具有以下形式： (L X, , X) R( X, , X) 1 n 1 n 其中的L( )⋅ 和 R( )⋅ 是矩阵变量 的仿射函数，通过适当的代数运算，上式可以写 X ,X 1 , n 成线性矩阵不等式的一般表示式（1）的形式。例如，在系统稳定性问题中经常遇到的 Lyapunov 矩阵不等式 T A X +XA 0 (2) 也是一个线性矩阵不等式，其中的 X 是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵 1 −2 ⎡ ⎤ A ⎢ ⎥为例，将矩阵不等式（2 ）写成一般表示式（1）的形式。针对二阶矩阵不 0 ⎣ 2 − ⎦ x1 ⎡x 2 ⎤ 等式（2 ），对应的矩阵变量X 是一个二阶的对称矩阵，X ⎢ ⎥，不等式（2 ）中 x x 2 ⎣ 3 ⎦ X x x 、x 、 X 的决策变量是矩阵 中的独立元 。根据对策性，矩阵变量 可以写成 1 2 3 1 0 0 1