离散数学--14.3.1-2.ppt

14.3 几个典型的代数系统 14.3.1 半群与独异点 14.3.2 群 14.3.3 环与域 14.3.4 格与布尔代数 半群与独异点 半群与独异点的定义与实例 半群与独异点的幂运算 半群与独异点的子代数和积代数 半群与独异点的同态 半群与独异点的定义 实例 半群与独异点的幂运算 半群与独异点的子代数 实例 半群与独异点的同态 实例 群 群的定义与实例 群中的术语 群的性质 子群的定义及判别 群的同态与同构 循环群 置换群 群的定义与实例 定义14.14 设G,° 是代数系统，° 为二元运算. 如果 ° 运算 是可结合的，存在单位元 e∈G，并且对 G 中的任何元素 x 都有x?1∈G，则称 G 为 群. 实例 (1) Z,+,Q,+,R,+都是群；Z+,+和N,+不是群. (2) Mn(R),+是群，而Mn(R),·不是群. (3) P(B),?是群，?为对称差运算. (4) Zn,?，也是群. Zn={ 0,1, …, n?1}，?为模 n 加. Klein四元群 设 G = { e, a, b, c }，G上的运算由下表给出， 称为 Klein四元群 群中的术语 群中的术语(续) 群中的术语(续) 定义14.17 设G是群，x∈G，使得等式 xk = e 成立的最小 正整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称 x为 k 阶元. 若不存在这样的正整数k，则称 x 为无限阶元. 实例 在Z6,?中， 2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元 0 是 1 阶元 在Z,+中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在. 群的性质---幂运算规则 群的性质---幂运算规则(续) 群的性质---群方程存在唯一解 群的性质---消去律 群中元素阶的性质 定理14.6 G为群，a∈G且|a|=r. 设k是整数，则  (1) ak = e 当且仅当 r | k  (2) |a?1|=|a| 证 (1) 充分性. 由r|k，必存在整数 m 使得 k=mr，所以有 ak = amr = (ar)m = em = e.必要性. 根据除法，存在整数 m 和 i 使得 k = mr+i, 0≤i≤r?1从而有 e = ak = amr+i = (ar)mai = eai = ai因为|a| = r，必有 i = 0. 这就证明了r | k. (2) 由 (a?1)r= (ar)?1 = e?1 = e, 可知 a?1的阶存在. 令 |a?1|=t，根据上面的证明有 t | r. a又是a?1的逆元，所以 r | t. 从而证明了r = t，即 |a?1|=|a|. 群性质的应用 例2 证明单位元为群中惟一幂等元. 证 设 G 为群. a 为 G 中幂等元. 则 aa = a，从而得到 aa = ae. 根据消去律得 a = e. 例3 设G为群，如果?a?G 都有 a2 = e, 证明 G 为 Abel群. 证 a2 = a ? a = a?1 任取 x,y?G， xy = (xy)?1 = y?1x?1 = yx 因此 G为Abel群. 子群的定义 子群判定定理 判定定理一 定理14.7 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群当 且仅当 ?a, b∈H 有 ab∈H，?a∈H 有 a?1∈H.? 证 必要性显然，只证充分性. 由于H非空，存在 a 属于H, 因此有a?1属于H. 根据已知 必有 aa?1属于H, 即 e 属于H. H 满足子群定义. 实例 nZ 是整数加群 Z,+ 的子群. 显然 nZ是 Z 的非空子集. 因为 n 属于 nZ. 任取 nk, nl 属于 nZ, nk+nl = n(k+l)，n(k+l)?nZ，?nk?nZ 根据判定定理，nZ 是整数加群的子群. 子群判定定理(续) 判定定理二 定理14.8 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群当 且仅当 ?a,b∈H 有 ab?1∈H.? 证明 只证充分性. 由于 H 非空，必有 x∈H. 由已知有 xx?1∈H，从而得到 e∈H. 任取 H 中元素 a, 由 e,a∈H 得 ea ?1∈H，即a?1∈H. 任取 a,b∈H, 必有 b?1∈H，从而得到a(b?1)?1∈H，即 ab∈H. 根据判定定理一得证. 重要子群的实例 生成子群