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《第二章 2.1_典型例题分析.》.pdf
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料
第二章 2.1_典型例题分析
1.求下列变量可分离方程的通解
dy
1) y y ln
dx
解:由原方程,得y 0 或y 1为特解
dy
( 1y) y0 时,有 dx , 两边积分得
y y ln
ln | ln y | x c 即yln Ce x , 其中C 0 (1)
若允许(1) 中的C=0, 则解y 1包含在(1) 中.
综上,知原方程的通解为yln Ce x ,C 为任意常数, 另外还有特解y 0
2 )dy xey
dx
y x y x
e dy解:e dx e e ,C
3 )tgydx ctgxdy 0
sin x cos y
解: dx dy 0
cos x sin y
d (ln cos x ln sin y ) 0
y xsin Ccos , 其中C 0 (1)
另外方程有特解y k x,k ,k z ,若允许(1) 中的 C=0, 则它们包
2
含在(1) 中.
故方程的通解为:ysin xcosC ,C 为任意常数
dy 1y2
4)
3
dx xy x y
解:原式可化为:
2
dy 1y 1
3
dx y x x
2
1y
显然 0, 故分离变量得
y
y 1
2 dy 3 dx
1y x x
两边积分得
1 2 1 2
y x x
ln 1 ln ln 1 c
2 2
收集与整理:陈以平 1
湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料
即(1y 2 )(1x 2 ) cx 2
2 2 2
故原方程的解为(1y )(1x ) cx
5) (1x)ydx (1y )xdy 0
解:
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