第三章 精确平稳解 非线性随机动力学教案.doc

第三章 精确平稳解 从上世纪30年代至90年代初所得到的非线性随机动力学系统的精确平稳解都属于能量等分解。在将非线性随机动力学系统表示成随机激励的耗散的Hamilton系统，并引入可积性与共振性后，得到了五类精确平稳解，其中一类是能量等分解，四类是能量非等分解，使非线性随机动力学系统的精确平稳解与线性随机动力学系统的Gauss解一致起来。本章中建立并证明了非线性随机动力学系统精确平稳解的泛函形式对相应Hamilton系统的可积性与共振性的依赖关系，给出了求精确平稳解的方法与存在精确平稳解的条件。 3.1 随机激励的耗散的Hamilton系统 1.1.1中曾由Hamilton原理导出（广义）保守系统的Lagrange运动方程，进而经Legendre变换导出Hamilton方程。本节将用Hamilton原理导出非保守系统的Lagrange方程，然后用Legendre变换导出Hamilton方程，最后给出本书所研究的随机激励的耗散的Hamilton系统的一般运动方程。 以表示Lagrange函数，以记非保守广义力，表示非保守力之虚功，非保守系统的Hamilton原理可表为 　 （3.1-1） 经分部积分，并注意两端广义位移变分为零 　 （3.1-2） 可得非保守系统的Lagrange运动方程 （3.1-3） 再用1.1.1中所述Legendre变换，可得如下非保守系统的Hamilton方程 　（3.1-4） 式中 　 （3.1-5） 为非保守广义力，包括耗散力，激励力及控制力，即 　　 　 　（3.1-6） 本书中，设耗散力形为　 　 　 （3.1-7） 当为常数时，为线性阻尼力。当为、函数时，为拟线性阻尼力。（3.1-7）是一个很一般的阻尼力模型,包含了所有通常遇到的线性与非线性阻尼力。 激励力形为 　 　 （3.1-8） 式中为随机过程，可以是白噪声、宽带过程或窄带过程，也可包括周期或谐和力，可以是平稳的，也可以是非平稳的。当为常数时，相应的激励（不对求和）称为外激或加性激励，当依赖于、时，相应的激励称为参激或乘性激励。 控制力形为 （3.1-9） 这表明为反馈控制力。当为、的线性函数时，为线性反馈控制力，否则为非线性反馈控制力。 考虑到（-6）-（-9）,（-4）变成 （-10） 式中改用大写字母、时，（3.1-10）称为随机激励的耗散的Hamilton系统，将在本章至第七章中论述。 3.2 Gauss白噪声激励下耗散的Hamilton系统 3.2.1 FPK方程 考虑Gauss白噪声激励下n自由度耗散的Hamilton系统，其运动微分方程形为 　（3.2-1） 式中为未扰Hamilton系统的Hamilton函数，为Gauss白噪声，均值为零，相关函数为 　　 （3.2-2） 按照（2.7-16）至（2.7-20）的推导过程，（3.2-1）可模型化为下述Stratonovich随机微分方程 （3.2-3） 式中 　 （3.2-4） 与（3.2-3）等价的It?随机微分方程为 （3.2-5） 式中为Wong-Zakai修正项，它们是Q, P的函数，通常可分成保守与耗散两部分。其中保守部分可与合并成为，而， 称为修正的Hamilton函数。修正项中耗散部分可与合并成为修正的阻尼力。于是，（3.2-5）可改写成 （3.2-6） 显然，不依赖于Ｐ时，Wong-Zakai修正项为零，从而，。由2.5知，一般得不到It?随机微分方程（3.2-6）的解析解，只能求其数值解。 按（2.7-21）-（2.7-24），与（3.2-6）相应的FPK方程为 （3.2-7） 式中为转移概率密度或为无条件概率密度，。注意到 （3.2-8） 为p与Ｈ的Poisson括号，（3.2-7）可改写成 （3.2-9） 扩散系数有时可分为[1，2] 　（3.2-10） 此处上下标不表示求和。分解式（3.2-10）可使扩散矩阵保持对称，即。于是，（3.2-9）又可表示为 　（3.2-11） 注意，（3.2-11）比（3.2-9）更为一般，因为前者对应更为广泛的随机系统。只有当时，两者才完全等价。 FPK方程（3.2-7）、（3.2-9）及（3.2-11）是2n维的，而扩散矩阵是n×n维的，因此，FPK方程是退化的抛物型偏微分方程。 当FPK方程（3.2-7）、（3.2-9）或（3.2-11）中ｐ为转移概率密度时，初始条件形同（2.1-28），即 （3.2-12） 当ｐ为无条件概率密度时，初始条件形同（2.1-36），即 （3.2-13）