第七章 首次穿越 非线性随机动力学教案.doc

首次穿越 随机稳定性是随机动力学系统的状态在半无限长时间内保持在某平衡点邻域的概率或统计特性，首次穿越则是该系统状态在一个时间区间内停留在一个较大区域内的概率或统计特性。首次穿越同动力学系统的状态过渡及结构可靠性紧密相关。本章主要叙述拟Hamilton系统的首次穿越。 7.1　时齐扩散过程首次穿越问题的一般提法 随机稳定性理论研究在纯随机参激下动力学系统的状态在半无限长时间内保持在某平衡点邻域的概率或统计特性。当系统受纯随机参激不稳定，或受随机外激时（此时系统恒不稳定），系统将在较大范围内作随机运动。实践中，常需知道系统状态停留在相空间中某一区域（例如，动力学系统平衡点的吸引域，结构性能的允许域或安全域）的概率或统计特性。对结构系统，系统状态停留在安全域内的概率就是可靠性，系统状态首次越出安全域就意味着损坏，系统状态首次穿越安全域边界的时间就是寿命。显然，研究随机动力学系统的首次穿越具有重大理论与实际意义。 首次穿越是随机动力学中最困难问题之一，迄今，只有当动力学系统状态为时齐扩散过程时才可能有精确解，已知解则限于一维情形[1,2]。自上世纪70年代以来，一些学者应用古典随机平均法，将单自由度系统的随机响应化为幅值或能量的一维时齐扩散过程，得到了首次穿越问题的解析解，这些成果已概括于专著[3,4]之中。 考虑定义于空间中的维时齐扩散过程，其漂移与扩散系数分别为与。设空间中有一开域，其逐段光滑边界为，欲研究该过程停留于内的概率，即可靠性，及首次穿越边界的时间的概率与统计量。为此，引入条件可靠性函数 （7.1-1） 它表示该过程初始处于而在内一直保持在内之概率。为导出所满足的微分方程，引入条件转移概率密度，它是该过程在内始终停留在内的样本函数的转移概率密度，显然，它满足FPK方程与后向Kolmogorov方程，即 　　　　　　　　（7.1-2） 式中L为椭圆算子，按（2.1-46），它为 　　　　　　（7.1-3） （7.1-2）的初始条件为 　　 　　（7.1-4） 边界条件可有几种不同情形。一是全为越出边界，此时边界条件为 　　　　　　 　（7.1-5） 其意为，一旦到达就越出而不再返回，或说被吸收，因此，称为吸收边界。另一种可能情形是，一部分边界为吸收边界，边界条件为（7.1-5），另一部分边界为反射边界，按（2.1-56），上的边界条件为 　　　　　（7.1-6） 当，时，（7.1-6）化为 　　 　　　　（7.1-7） 还可有其他形式边界条件，详见7.2-7.4。 按定义（7.1-1），条件可靠性函数是该过程在上始终保持在内的样本数与总样本数之比，因此， 　　　　　（7.1-8） （7.1-2）两边对在上积分，即可导出如下条件可靠性函数所满足的后向Kolmogorov方程： 　　　　　　　　 　　　　　（7.1-9） 由（7.1-4）对在上积分，得（7.1-9）的初始条件 　　　　　　　　　　（7.1-10） 类似可导出（7.1-9）的边界条件。例如，全为吸收边界时，边界条件为 　　　　　　　　　　（7.1-11） 于是，确定条件可靠性函数是一个抛物型偏微分方程的边初值问题。因为所要求的是瞬态解，而且边界在有限远处，所以该问题十分困难。 过程初始位于而在内穿越边界的概率，即条件损坏概率为 　　　　（7.1-12） 记过程首次到达边界的时间，即首次穿越时间（寿命）为，则它的条件概率密度为 　（7.1-13） 首次穿越时间的阶条件矩定义为 　 　　（7.1-14） （7.1-13）代入（7.1-14），进行分部积分，得 　　（7.1-15） 由定义（7.1-14），。 （7.1-9）两边同乘以，对从0到积分，并利用（7.1-15），可导出如下支配首次穿越时间的条件矩的广义Pontryagin方程： 　　　　　　（7.1-16） 对， 　　　　　　 　　　　　　（7.1-17） 它是描述实践中最感兴趣的平均首次穿越时间的Pontryagin方程。（7.1-16）的边界条件可从（7.1-9）的边界条件导出。当全为吸收边界时，边界条件为 （7.1-18） 注意，以上求得的可靠性函数，首次穿越时间的概率密度与阶矩皆为依赖于系统初始状态的条件量。若已知系统初始状态的概率密度，则相应的无条件量可按下列各式求得： （7.1-19） （7.1-20） （7.1-21） 7.2　拟不可积Hamilton系统 考虑形如（5.2-2）的自由度拟不可积Hamilton系统，其Hamilton过程近似为一维时齐扩散过程，由平均It?方程（5.2-5）描述。对机械结构系统，Hamilton过程表示系统总能量